1.4. Введение в математический анализ Для замечаний

1.4. Введение в математический анализ

1.4.1. Основные понятия о множествах, логическая символика

1.4.1.1. Некоторые сведения о множествах

Основные понятия

Множество - есть исходное, начальное (а следовательно, и неопределяемое) понятие. Можно лишь сказать, что множество есть собрание объектов, при этом не будем уточнять, какие собрания объектов являются множествами. Объекты этого собрания называются элементами множества.

Множества, состоящие из конечного числа элементов, называются конечными множествами. Если множество состоит из n элементов, то это обозначают следующим образом:

.

Часто приходится сталкиваться с другими, неконечными, или, как принято говорить, бесконечными множествами. Таковы, например, множества всех натуральных чисел, всех нечетных чисел и т.д.

К числу конечных множеств мы будем относить и пустое множество, т.е. множество, не содержащее ни одного элемента; число элементов пустого множества есть нуль. Такое множество обозначим символом .

Если элемент x принадлежит множеству А, то пишут xA.

Запись , или xA означает, что x не есть элемент множества А.

Запись  (или ) означает, что каждый элемент множества А является элементом множества В или, другими словами, множество А есть подмножество множеств В (или множество А включено в множество В).

Два множества называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов: запись А=В.

Если А есть подмножество В, причем множество А не совпадает с множеством В, то пишут    или   .

Если множество А не принадлежит множеству В, то пишут

  , . Знаки      называются знаками включения.

разберем некоторые понятия математической логики. Прежде всего, что такое математическая логика?

Математическая логика- наука о законах логического вывода.

В математической логике под предложением понимают то же самое, что вкладывают в смысл этого термина в грамматике любого естественного языка.

Высказыванием называется предложение, о котором имеет смысл говорить, что оно истинно или ложно. Каждое высказывание либо истинно, либо ложно. Истинному высказыванию будем ставить в соответствие единицу, а ложному- логический ноль (1;0).

Пример: (10=15)=0 (высказывание “10 равно 15” ложно)

(5>-1)=1 (высказывание “5 больше -1” истинно).

Будем обозначать высказывания буквами какого-либо алфавита:

X, Y,L,.........; А, В ,......

Высказывательная форма- это выражение, содержащее одну или несколько переменных и становящееся высказыванием при подстановке чисел или элементов каких-либо множеств вместо своих переменных.

Основные операции алгебры логики.

При записи математических рассуждений будем использовать следующую экономную символику, описывающую различные алгебраические операции (операции алгебры логики).

а) Отрицание (негоция) : X; -“не X”. Отрицанием высказывания X называется или  X (“не X” или “неверно, что X”), которое означает высказывание, утверждающее, что X ложно.

Таблица истинности

X
1 0	0 1

б) Коньюнкцией (логическим произведением) высказываний X, Y

называется высказывание (“X и Y”), истинное тогда и только тогда, когда оба высказывания, X и Y, истинны.

X	Y	XY
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	0

в) Дизьюнкция (логическое сложение) высказываний X, Y- XY (“X или Y”) - высказывание истинное тогда и только тогда, когда истинно хотя бы одно из высказываний X и Y.

X	Y	XY
1	1	1
1	0	1
0	1	1
0	0	0

г) Импликация (логическое следствие) X  Y (“если X, то Y “ или “из X следует, что Y”) есть высказывание, ложное тогда и только тогда, когда X истинно, Y ложно. В остальных случаях X  Y истинно.

X  Y означает: X является достаточным условием для Y. Y является необходимым условием для X.

Таблица истинности

X	Y	XY
1	1	1
1	0	0
0	1	1
0	0	1

д) Эквивалентность двух высказываний X и Y (“X тогда и только тогда, когда Y”) - есть высказывание X  Y, истинное тогда и только тогда, когда оба высказывания X и Yсразу истинны или ложны.

X  Y - “X” является необходимым и достаточным условием “Y”.

Таблица истинности.

X	Y	XY
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	1