1.6. Неопределенный интеграл Для замечаний

1.6. Неопределенный интеграл

1.6.1. Первообразная функция

Пусть функция f(x) определена на множестве М, которое является либо интервалом (конечным или бесконечным), либо сегментом.

Замечание. Рассмотрение сегмента необходимо для применения неопределенного интеграла в дальнейшем для вычисления определенного интеграла.

Определение. Функция F(x) называется первообразной (функцией) для функций f(x) на множестве М, если она дифференцируема в каждой точке х множества М и .

Замечание. В концевых точках сегмента рассматриваются односторонние производные.

Пример. f(x)=2x

Действительно:

Очевидно, что если F(x) является первообразной для функций f(x) на множестве М, то F(x)+C (C = const) также является первообразной для f(x) на множестве М .

Теорема 1. Пусть F₁(x) и F₂(x) - любые первообразные для функции f(x) на множестве М, тогда F₁(x) - F₂(x) = С x  M, где С = const.

Доказательство. Положим,

G(x)= F₁(x) - F₂(x), тогда G(x) дифференцируема на М (в случае сегмента в концевых точках существуют односторонние производные) и

,

откуда следует, что G(x)=C =const , т.е.

F₁(x) - F₂(x)  С=const .

Теорема доказана. Таким образом показано, что любые первообразные для одной и той же функции на множестве М могут отличаться лишь на константу.

Следствие. Если F(x) - одна из первообразных для f(x) на множестве М, то любая первообразная (х) для f(x) на М представляются в виде (х)=F(x)+C, где С - некоторая константа.

1.6.2. Неопределенный интеграл

Определение. Совокупность всех первообразных функций f(x) на множестве М называется неопределенным интегралом от функции f(x) (на этом множестве) и обозначается символом

.

В этом обозначении знак называется знаком интеграла, выражение f(x)dx – подынтегральным выражением, а функция f(x) - подынтегральной функцией.

Если F(x) - одна из первообразных функций для функции f(x) на множестве М, то в силу следствия из теоремы п.1.1.

, (1)

где С - любая постоянная. Это равенство следует понимать как равенство двух множеств, точнее следовало бы записать так:

.

Пример. .

Замечание. Если F(x) - первообразная функции f(x) на множестве М, то в формуле (1) под знаком интеграла стоит дифференциал функции F(x), действительно: .

Будем считать по определению, что

. (2)

1.6.3. Основные свойства неопределенного интеграла

1⁰. Пусть функция F(x) дифференцируема на М, тогда

.

Cправедливость этих равенств вытекает из соотношений (1), (2) п.1.2.

2⁰. Пусть функция f(x) имеет первообразную на множестве М, тогда

Здесь под интегралом понимается любая первообразная F(x) функции f(x). Справедливость этой формулы очевидна в силу определения первообразной: так

.

3⁰. Если функции f₁(x) и f₂(x) имеют первообразные на М, то и функция

f₁(x) + f₂(x) также имеет первообразную на М, и

. (1)

Это равенство означает совпадение двух множеств функций, т.е., что сумма каких-либо первообразных для функций f₁(x) и f₂(x) является первообразной для функции f₁(x) + f₂(x), и наоборот, всякая первообразная для функции f₁(x) + f₂(x) является суммой некоторых первообразных для функций f₁(x) и f₂(x).

Доказательство. Пусть

Положим F(x)=F₁(x)+F₂(x), тогда F(x) дифференцируема на М и

т.е F(x) является первообразной функции f₁(x) + f₂(x) на М. Таким образом,

Так как с₁+с₂ - также произвольная постоянная, то множества

совпадают.

Свойство 3⁰ доказано. Аналогично доказывается, что

.

4⁰. Если функция f(x) имеет первообразную на М и аR, то функция аf(x) также имеет на М первообразную, причем при а имеет место равенство

(2)

Доказательство. Пусть , тогда . Таким образом

Так как а, то ас также является произвольной постоянной, и множества совпадают. Свойство 4⁰ доказано.

Свойства 3⁰ и 4⁰ выражают свойства линейности неопределенного интеграла относительно подынтегральной функции.

Вопрос о существовании первообразных остается пока открытым.