1.9. Функции нескольких переменных Для замечаний

1.9. Функции нескольких переменных.

1.9.1. Множества в евклидовом пространстве Rm

Определение 1. Совокупность всех упорядоченных наборов из m действительных чисел (х₁, ..., х_m) (точек R^m) называется m-мерным евклидовым пространством R^m, если расстояние между любыми двумя точками и определяются формулой

.

Пример 1.

Пример 2. Пусть .

- E - окрестность т. М_0.

Пример 3. Пусть d₁,..., d_m - положительные числа.

- прямоугольная окрестность т. М_0,

(i = 1,..., m)

Утверждение 1. Любая  - окрестность т. М₀ содержит некоторую прямоугольную окрестность этой точки; любая прямоугольная окрестность точки М₀, содержит  - окрестность т. М.

Прежде всего заметим, что для m = 1 прямоугольные и  - окрестности совпадают. Для m = 2 содержание утверждения также очевидно.

Для всех m > 1 доказать этот факт можно только аналитически (хотя наглядные представления для двумерного случая несомненно этому помогают).

Доказательство: 1. Для фиксированного  > 0 положим d₁=d₂=...=

= d_m = , тогда

т.е. точка, принадлежащая такой прямоугольной окрестности т. М₀, принадлежит и  - окрестности т. М₀, иными словами  - окрестность т. М₀ содержит прямоугольную окрестность т. М₀ с d_i = (i = 1,..., m).

2. Для фиксированных d₁,..., d_m положим , тогда

Аналогично (i = 1,..., m).

Таким образом, мы получим, что точка, принадлежащая  - окрестности т. М₀ (для ) принадлежит заданной прямоугольной окрестности т. М₀, т.е. прямоугольная окрестность содержит некоторую (мы указали, какую, например) E - окрестность т. М₀.

Утверждение 1 доказано.

Определение 2. Точка М₀ множества из R^m называется внутренней точкой этого множества, если существует некоторая E - окрестность т. М₀, целиком принадлежащая этому множеству

Определение 3. Точка М₀ множества из R^m называется граничной точкой множества М₀, если любая Е - окрестность т. М₀ содержит как точки, принадлежащие множеству, так и не принадлежащие ему.

Определение 4. Множество из R^m называется открытым множеством или областью, если любая точка этого множества - внутренняя.

Примером открытого множества может служить открытый шар

Определение 5. Если каждая граничная точка множества принадлежит этому множеству, то множество называется замкнутым.

Примером может служить “замкнутый” шар

Определение 6. Замкнутой областью называется объединение области и множества ее граничных точек.

Определение 7. Непрерывной кривой L в R^m назовем множество точек, координаты которых задаются параметрическими уравнениями

где (i = 1,..., m). При t = ,  получаем начало и конец кривой (Будем говорить, что начало и конец соединены непрерывной кривой).

Определение 8. Множество из R^m называется связным, если любые две его точки можно соединить непрерывной кривой, все точки которой принадлежат этому множеству.

Замечание. Часто в определение области включают требование связности.

Определение 9. Множество называется ограниченным, если оно содержится в некотором шаре.