1.3. Аналитическая геометрия в пространстве Для замечаний

1.3. Аналитическая геометрия в пространстве

1.3.1. Плоскость как поверхность первого порядка

Теорема. В декартовой прямоугольной системе координат каждая плоскость определяется уравнением первой степени.

Доказательство. Рассмотрим произвольную плоскость П и докажем, что эта плоскость определяется уравнением первой степени. Возьмем на плоскости  какую-нибудь точку М₀(x₀; y₀; z₀); выберем кроме этого, произвольный вектор (не нулевой) перпендикулярный к плоскости П. П.

={А; В; С}. Пусть М(x; y; z) - произвольная точка. Она лежит на плоскости тогда и только тогда, когда вектор перпендикулярен вектору N:



Условием перпендикулярности двух векторов является равенство нулю их скалярного произведения:

={x- x₀; y- y₀; z- z₀}; ={А; В; С}.

 =0  А(x- x₀)+В(y- y₀)+С(z- z₀)=0 (1)

Это и есть искомое уравнение плоскости П, т.к. ему удовлетворяют координаты x; y; z точки М тогда и только тогда, когда М лежит на плоскости П.

Раскрывая скобки, представим уравнение (1) в виде Аx+Вy+Сz+(-Аx₀-Вy₀-Сz₀)=0. Далее, обозначая число -Аx₀-Вy₀-Сz₀ буквой D, получим:

Аx+Вy+Сz+D=0.

Мы видим, что плоскость П действительно определяется уравнением первой степени. Теорема доказана.

Произвольный ненулевой вектор, перпендикулярный плоскости, называется нормальным к ней вектором. Употребляя это название, мы можем сказать, что уравнение А(x- x₀)+В(y- y₀)+С(z- z₀)=0 есть уравнение плоскости, проходящей через точку М₀(x₀; y₀; z₀) и имеющей нормальный вектор N={А; В; С}.

Уравнение вида

Аx+Вy+Сz+D=0 (2)

называется общим уравнением плоскости.

Теорема. В декартовых координатах каждое уравнение первой степени определяет плоскость.

Доказательство. Рассмотрим произвольное уравнение первой степени Аx+Вy+Сz+D=0 (А, В, С одновременно не равны нулю).

Пусть x₀, y₀, z₀ произвольная тройка чисел, удовлетворяющая уравнению (2):

Аx₀+Вy₀+Сz₀+D=0. (3)

Вычтем и уравнения (2) тождество (3), получим

А(x-x₀)+В(y-y₀)+С(z-z₀)=0,

которое по предыдущему представляет собой уравнение плоскости, проходящей через точку М₀(x₀; y₀; z₀) и имеющей нормальный вектор N={А; В; С}. Но уравнение (2) равносильно уравнению (1), т.к. уравнение (1) получается из уравнения (2) путем почленного вычитания тождества (3), а уравнение (2) в свою очередь получается из уравнения (1) путем почленного прибавления тождества (3). Следовательно, уравнение (2) является уравнением той же плоскости. Теорема доказана.

Докажем теперь следующее важное утверждение: если два уравнения А₁x+В₁y+С₁z+D₁=0 и А₂x+В₂y+С₂z+D₂=0 определяют одну и ту же плоскость, то коэффициенты их пропорциональны. Действительно ={А₁; В₁; С₁} и ={А₂; В₂; С₂} перпендикулярны к одной и той же плоскости, следовательно вектора и - коллинеарны, тогда

А₁=А₂m; В₁=В₂m; С₁=С₂m.

Пусть М₀(x₀; y₀; z₀) - любая точка плоскости: ее координаты должны удовлетворять каждому из данных уравнений, таким образом А₁x+В₁y+С₁z+D₁=0 и А₂x+В₂y+С₂z+D₂=0. Умножим второе из этих равенств на m и вычтем из первого: получим

D₁ - D₂m=0 или D₁= D₂m и .

Тем самым наше утверждение доказано.