23.В чем заключается правило "трех сигм"?

Пусть имеется нормально распределённая случайная величина  с математическим ожиданием, равным а и дисперсией ². Определим веро­ятность попадания  в интервал (а – 3; а + 3), то есть вероятность того, что  принимает значения, отличающиеся от математического ожидания не более, чем на три среднеквадратических отклонения.

P(а – 3<  < а + 3)=Ф(3) – Ф(–3)=2Ф(3)

По таблице находим Ф(3)=0,49865, откуда следует, что 2Ф(3) практи­чески равняется единице. Таким образом, можно сделать важный вывод: нормальная случайная величина принимает значения, отклоняющиеся от ее математического ожидания не более чем на 3.

24.Експоненційний закон розподіл

Експонеційний закон розподілу відіграє велику роль в теорії масового обслуговування та теорії надійності.

Безперервна випадкова величина X має експоненційний закон розподілу з параметром , якщо її щільність ймовірності f(x) має вигляд:

На рис 1.8 показано графік щільність розподілу ймовірності експоненційного закону розподілу.

Функція розподілу випадкової величини X, розподіленої по експоненційному закону, є

Графік функції F(х) наведений на рис 1.9.

Визначимо числові характеристики випадкової величини з рівномірним розподілом.

Математичне очікування

Дисперсія

Середньоквадратичне відхилення

Коефіцієнт асиметрії Ексцес дорівнює

25. Релеевський закон розподілу

Безперервна випадкова величина X має релеевський закон розподілу з параметром , якщо її щільність ймовірності f(x) має вигляд:

,

На рис 1.10 показано графік щільності розподілу ймовірності релевського закону розподілу.

Функція розподілу випадкової величини X, розподіленої по релеевському закону, є

,

Визначимо числові характеристики випадкової величини з рівномірним розподілом.

Математичне очікування

Дисперсія

Середньоквадратичне відхилення

Коефіцієнт асиметрії

.

Ексцес дорівнює

26.Перечислите характеристики положения случайной величины

Характеристики положения указывают на «центр» распределения. Он называется медианой (случайной величины Х или ее функции распределения F(x)) и обозначается Me(X). В математической статистике медиана делит пополам не сторону треугольника, а распределение случайной величины: равенство F(x_0,5) = 0,5 означает, что вероятность попасть левее x_0,5 и вероятность попасть правее x_0,5 (или непосредственно в x_0,5) равны между собой и равны ½, т.е.

P(X < x_0,5) = P(X > x_0,5) = ½.

мода – значение (или значения) случайной величины, соответствующее локальному максимуму плотности вероятности для непрерывной случайной величины или локальному максимуму вероятности для дискретной случайной величины.

Е сли x₀ – мода случайной величины с плотностью f(x), то, как известно из дифференциального исчисления, .

Математическое ожидание Для непрерывной случайной величины Х математическое ожидание М(Х) удовлетворяет равенству

27.Охарактеризуйте моменты положения случайной величины.

Понятие момента широко применяется в механике для описания распределения масс.

Совершенно теми же приемами пользуются в теории вероятностей для описания основных свойств распределения случайной величины. Чаще всего применяются на практике моменты двух видов: начальные и центральные.

Начальный момент

Начальным моментом s-го порядка прерывной случайной величины Х называется сумма вида:

Для непрерывной случайной величины Х начальным моментом s-го порядка называется интеграл:

Общее определение начального момента s-го порядка справедливое как для прерывных, так и для непрерывных величин: т.е. начальным моментом s-го порядка случайной величины Х называется математическое ожидание s-ой степени этой случайной величины.

Центральный момент

Центральным моментом порядка s случайной величины Х называется математическое ожидание s-ой степени соответствующей центрированной случайной величине:

Для любой случайной величины центральный момент первого порядка равен нулю:

т. к. математическое ожидание центрированной случайной величины всегда равно нулю.

Дисперсия

Из всех моментов в качестве характеристик случайной величины чаще всего применяются первый начальный момент (математическое ожидание) и второй центральный момент.

Второй центральный момент называется дисперсией случайной величины (D[X]): Согласно определению центрального момента:

т.е. дисперсией случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата соответствующей центрированной величины.