2.1.4. Обработка данных пассивного эксперимента

Основными задачами обработки результатов пассивного эксперимента являются:

1. Определение оценок коэффициентов уравнения регрессии в стандартизованном масштабе;

2. Оценка статистической значимости оценок коэффициентов уравнения регрессии;

3. Определение ошибки предсказания при переходе от предсказания выходной величины по среднему значению к предсказанию по эмпирическому уравнению регрессии.

Решение этих задач производится с использованием метода регрессионного анализа.

Определение оценок коэффициентов уравнения регрессии

Уравнение регрессии в стандартизованном масштабе имеет вид:

(9)

Стандартизованное масштабирование случайных величин осуществляется преобразованием величин x(t) и y = f(x) по следующим соотношениям:

, (10)

где j – номер величины х (j = 1n); l – номер измерения выходной величины y (l = 1N); _jl, _yl – значения величин x_jl и y_l в стандартизованном масштабе; x, y – средние значения величин; S_y, S_xj – среднеквадратические отклонения величин x_jl и y_l.

Для вычисления оценок коэффициентов _j (j = 1m) на основе метода наименьших квадратов составляется система уравнений:

(11)

В системе уравнений (11) величина m – число линейных величин вместе с искусственными линейными величинами, заменившими нелинейные члены уравнений:

, (12)

где с – число сочетаний из n по 2: с = с²_n.

Система уравнений (11) решается относительно _j с использованием стандартных программ на ПЭВМ. Искомые оценки коэффициентов уравнения регрессии проверяются на значимость.

Оценка статистической значимости оценок коэффициентов уравнения регрессии

Оценка статистической значимости оценок коэффициентов уравнения регрессии в стандартизованном масштабе проводится с использованием t-критерия Стьюдента. Незначимые коэффициенты из уравнения исключаются.

Определение ошибки предсказания

Полученное уравнение регрессии вида (9)показывает, как изменяется среднее значение выхода с изменением входных величин. Оценку тесноты регрессионной связи, то есть адекватность полученного уравнения протекающему процессу даёт коэффициент множественной корреляции R. Полученное уравнение работоспособно, если коэффициент R лежит в пределах 0,8…0,9.

Интервал ошибки предсказания при переходе от предсказания выходной величины по среднему значению к предсказанию по полученному уравнению регрессии характеризуется коэффициентом , определяемым соотношением:

, (13)

где S_y – среднеквадратическое отклонение выходной величины y; S_0y – среднеквадратическое отклонение выходной величины y^ относительно её значений, полученных по уравнению регрессии в натуральном масштабе. Чем больше , тем эффективнее работает уравнение регрессии.

Среднеквадратические отклонения определяются по формулам:

, (14)

г де y_эl – экспериментальное значение выходной величины y^ в l-той точке наблюдения; y – среднее значение выходной величины; - значение выходной величины, полученное по уравнению регрессии в l-той точке; d – число членов уравнения регрессии; N – число наблюдений (N = 1l).

Величина коэффициента  зависит от коэффициента корреляции R. Из графика, приведённого на рисунке 4, следует, что уравнение регрессии имеет смысл, если   2, то есть когда ошибки предсказания по уравнению регрессии хотя бы в два раза меньше, чем ошибки предсказания по среднему значению.