3. Проверка статистических гипотез о свойствах экспериментальных данных

В основе проверки статистических гипотез лежит определение правильности предположений о характере параметров генеральной совокупности по результатам исследований выборки (или группы выборок, взятых из генеральной совокупности).

Как правило, проверка статистических гипотез проводится для группы параметров случайных величин. При этом выдвигается гипотеза, правильность которой с определёнными ограничениями проверяется по определённым критериям. Основными ограничениями для большинства критериев является уровень значимости, характеризующий риск принятия неправильного решения и ограничение числа степеней свободы, влияющее на область распространения гипотезы, на число независимых параметров распределений случайных величин. Следует отметить, что параметры распределений являются величинами детерминированными, а не стохастическими. Основные критерии проверки статистических гипотез приведены ниже.

3.1. Критерий Пирсона 2

Критерий Пирсона служит для оценки соответствия экспериментального распределения предложенному теоретическому.

Представим себе статистический ряд наблюдений за случайной величиной {x}. Требуется проверить, согласуются ли экспериментальные данные с гипотезой о том, что случайная величина имеет предполагаемый теоретический закон распределения. Для этого статистический ряд разбивается на k интервалов и подсчитывается число значений случайной величины в каждом интервале. В результате получается экспериментальный ряд частот m’₁; m’₂;…;m’_k. При этом необходимо, чтобы в каждом интервале было не менее 5 наблюдений. Если число наблюдений в интервале мало, необходимо объединить интервалы. Исходя из предполагаемого теоретического закона распределения вычисляются частоты m_i в тех самых интервалах, на которые разбит статистический ряд. В результате получается теоретический ряд частот в k интервалах: m₁; m₂;…;m_k.

Для проверки согласованности теоретического и экспериментального распределения подсчитывается мера расхождения:

и число степеней свободы:  = k – f, где f – число ограничений, k – число интервалов.

Если число ограничений равно числу параметров в рассматриваемом законе распределения, то оно увеличивается на единицу. Например, для гауссовского распределения имеется два параметра: М(х) и , следовательно, число ограничений равно трём; для экспоненциального закона распределения, характеризующегося одним параметром , число ограничений равно двум. Для ² распределения составлены таблицы, с помощью которых для каждого значения ² и числа степеней свободы  можно определить Р – вероятность того, что за счёт чисто случайных причин, мера расхождения теоретического и экспериментального закона распределения будет меньше, чем фактически наблюдаемое в серии опытов значения ².

Если вероятность Р мала (настолько, что событие с такой вероятностью можно считать практически невозможным), то результат опыта следует считать противоречащим гипотезе о совпадении теоретического распределения с практическим. Напротив, если вероятность Р сравнительно велика, то можно принять расхождение между теоретическим и экспериментальным распределением несущественным. Возникает вопрос: «На сколько мала должна быть вероятность Р, чтобы отбросить или пересмотреть гипотезу?». Этот вопрос не может быть решён из математических соотношений, а должен опираться на физической сущности изучаемого процесса.