Вивчення затухаючих коливань на прикладі фізичного маятника.
Прилади та приладдя: установка з фізичним маятником і градусною шкалою, лінійка, секундомір.
Мета роботи: Визначення параметрів затухаючих коливань.
Коротка теорія і метод вимірювань
Фізичним маятником називається тіло, вільно підвішене на нерухому вісь в точці, що не співпадає з центром інерції тіла. У відсутності тертя і при малих амплітудах коливань рух фізичного маятника можна розглядати як гармонічне коливання, яке здійснюється за законом синуса або косинуса :
x = A sin ωt , (1)
де A - амплітуда коливання, ω - циклічна частота коливання, t – час, x - відхилення від положення рівноваги по горизонтальному напрямку.
Коливання фізичного маятника може буте зведено до коливання математичного маятника, для якого період коливання T і циклічна частота ω обчислюються за формулами:
T = 2π , ω = 2π / T, (2)
де l - довжина математичного маятника, g - прискорення вільного падіння.
Довжина математичного маятника, період коливань якого співпадає з періодом коливань фізичного маятника називається приведеною довжиною фізичного маятника. Якщо виміряти період коливань фізичного маятника, то за формулою (2) можна обчислити приведену довжину фізичного маятника:
l = gT2 / 4π2. (3)
При наявності тертя коливання маятника з плином часу затухають - зменшується амплітуда коливань. Рівняння затухаючих коливань має вигляд:
x = A0 exp ( - βt ) sin ω3t, (4)
де A = A0 exp ( - βt ) - амплітуда коливань, що зменшується з плином часу, A0 - початкова амплітуда, β - коефіцієнт затухання, ω3 - циклічна частота затухаючих коливань, яка менша за частоту ω незатухаючих - власних коливань:
ω3 =
.
(5)
Графік затухаючих коливань подано на рис.1.
Ступінь затухання коливань характеризують декрементом затухання - відношенням двох послідовних амплітуд, взятих через період. Натуральний логарифм декремента затухання:
Δ = ln (An/ An+1 ) = ln [ A0e- β t / A0e- β ( t + T ) ] = β t (6)
В даній роботі фізичний маятник являє собою стрижень з віссю обертання на шариковому підшипнику. Зміна періоду коливань маятника здійснюється зміною положення муфти, надітої на стрижень.
Завданнями роботи є визначення приведеної довжини фізичного маятника і вивчення закону затухаючих коливань. Неважко збагнути, що логарифмічний декремент затухання можна визначити за формулою
Δ = ln ( A0 / An )/n, (7)
де An - амплітуда n -го коливання.
Порядок виконання роботи:
Завдання 1.
1. Ознайомитися з установкою. Встановити муфту верхнім краєм проти верхньої риски на стрижні і виміряти відстань r від осі обертання до центра муфти. Відхилити маятник на 15-20˚ від положення рівноваги і в трьох дослідах виміряти секундоміром період коливань T.
2. Повторити заміри за пунктом 1 двічі, опускаючи кожного разу муфту на 5-10 см. Результати вимірювань і розрахунків подати в табл. 1. Порівняти значення r і l.
Таблиця 1
-
№
r
T
l
r-l
(r-l)/l
Завдання 2.
1. Залишаючи муфту в третьому положенні, відхилити маятник на 15-20˚ і при коливаннях помітити відхилення початкового і кінцевого коливань. Зробити подібні вимірювання тричі. Кожного разу обчислити значення початкової і кінцевої амплітуди за формулою An = l sin αn. .
2. Знайти в кожній серії вимірів відношення початкової амплітуди до шостої (три значення ). Згідно з (6) розрахувати логарифмічний декремент затухання як Δ = ln ( A6 / A0 )/6 = 2,3 lg (An / An+1 )/6.
3. Визначити коефіцієнт затухання β=Δ/T, використовуючи T з останнього рядка табл.1.
4. Дані вимірів та розрахунків за пп.3-5 подати в табл. 2. Обчислити циклічну частоту коливання за співвідношенням ω = 2π / T.
Таблиця 2.
-
№
An
An+1
An / An+1
Δ
T
β
1
2
3
-
-
-
-
-
-
-
-
-
Середні значення
Записати рівняння затухаючих коливань (4), підставляючи в нього знайдені числові значення.
Дайте відповіді на запитання:
1. Як змінюється різниця між положенням центру муфти і приведеною довжиною фізичного маятника при опусканні муфти?
2. Від чого залежить та як можна виміряти коефіцієнт затухання в цій роботі?
3. Як залежить період затухаючих коливань в даній роботі від положення муфти на стрижні фізичного маятника?
Лабораторна робота № 12.