2. Группы преобразований

   1. Группы подстановок

Пусть Х – некоторое множество. Группой подстановок множества Х называется группа

G(X) = {f: X →X | f - биекция},

в которой алгебраической операцией является композиция отображений, нейтральным элементом – тождественное отображение, а обратный элемент для биекции f – это биекция f^-1 (где f^-1(f(x))=x). Элементы группы G(X) называются подстановками множества Х. Если множество Х бесконечно, то и группа G(X) – бесконечна, а если | X | > 2, то G(X) – неабелева группа.

Пример 1. Совокупность всех подстановок из трех элементов (симметрическая группа третьей степени) образует конечную неабелеву группу.

Из трех чисел 1, 2, 3 можно сделать следующие подстановки:

Каждая подстановка заключается в том, что на место числа, стоящего в верхней строчке, ставится подписанное под ним число из нижней строчки. Первая Подстановка P₀ называется тождественной, в ней каждое число остается на своем месте. Вторая подстановка P₁ заключается в том, что число 1

остается на месте, число 3 ставится на место числа 2, а число 2 — на место числа 3 и т. д.

По определению, будем считать, что перемножить две подстановки, значит последовательно произвести их одну за другой. В результате получится опять подстановка, называемая произведением двух данных подстановок. Например, перемножим P₂ и P₅. В силу первой подстановки единица заменится

двойкой, в силу второй подстановки эта двойка останется на месте; итак, после последовательного совершения обеих подстановок единица перейдет в двойку.

Точно так же после последовательного совершения обеих подстановок двойка перейдет в тройку, тройка перейдет в единицу:

Таким образом перемножаются любые две подстановки. Таблица умножения выглядит следующим образом:

Первый множитель	Второй множитель
	P0	P1	P2	P3	P4	P5
P0	P0	P1	P2	P3	P4	P5
P1	P1	P0	P3	P2	P5	P4
P2	P2	P4	P0	P5	P1	P3
P3	P3	P5	P1	P4	P0	P2
P4	P4	P2	P5	P0	P3	P1
P5	P5	P3	P4	P1	P2	P0

Из таблицы видно, что результатом умножения любых двух подстановок снова является подстановка из числа перечисленных, значит, выполнен закон умножения группы. Проверим аксиомы группы:

1. Ассоциативность: непосредственной проверкой можно убедиться, что наше умножение удовлетворяет ассоциативности.

(P₂ • P₃) • P₄ = P₅ • P₄ = P₂

P₂ • (P₃ • P₄) = P₂ • P₀ = P₂

2. Тождественная подстановка P₀ есть единственная подстановка, удовлетворяющая условию: P₀ • P_i = P_i• P₀ = P_i для любой подстановки P_i .

3. Наконец, к каждой подстановке имеется обратная, дающая в произведении с данной тождественную подстановку: обратная подстановка к данной ставит все числа, смещенные подстановкой, на их прежние места. Чтобы в таблице умножения найти сразу подстановку, обратную к данной подстановке, надо в строчке, отмеченной слева данной подстановкой, найти элемент Р₀; в заголовке столбца, в котором лежит этот элемент, и стоит подстановка, обратная данной. Как легко видеть:

P₀^-1 = P₀, P₃^-1 = P₄,

P₁^-1 = P₁, P₄^-1 = P₃,

P₂^-1 = P₂, P₅^-1= P₅.

2. Умножение подстановок не обладает свойством коммутативности:

P₂ • P₃ = P₅

P₃ • P₂ = P₁

Итак, совокупность всех подстановок из трех элементов есть конечная неабелева группа.

Пример 2. Симметрическая группа второй степени образует конечную абелеву группу.

1). Ассоциативность: ( ) =( )

_{2). Нейтральный элемент: P0}

_{3). Обратный элемент:}

_{4). Коммутативность:}

Пример 3. Так как группа всех перестановок множества Х– это группа биекций Х→Х, то можно если взять в качестве Х множество R, мы получим бесконечное множество подстановок.