Российский Государственный Педагогический Университет имени

А. И. Герцена

Факультет Математики

Реферат по основным алгебраическим структурам на тему: "Группы"

Выполнила: студентка 2 группы 1 курса магистратуры Колосова Д.А.

Руководитель: профессор Гордеев Николай Леонидович

Санкт-Петербург

2011

СОДЕРЖАНИЕ

Содержание……………………………………………………………………….2

Введение…………………………………………………………………………..3

1. Типы групп…………………………………………………………………….4

1.1. Абелевы конечные группы…………………...………………………….4

1.2. Абелевы бесконечные группы…………………………………………..7

1.3. Неабелевы конечные группы…………………………………………..10

1.4. Неабелевы бесконечные группы………………………………………12

2. Группы преобразований…………………………………………………….12

2.1. Группы подстановок……………………………………………………12

2.2. Линейные группы………………………………………………………15

2.3. Группы движений……………………………………………………….17

Введение

Определение 1. Алгебраической операцией на множестве M называется любое отображение f : M х M → M.

Таким образом, любой упорядоченной паре (m₁, m₂) элементов m₁, m₂ из множества M ставится в соответствие однозначно определённый элемент f((m₁,m₂)) того же множества M. При этом, образ пары f((m₁,m₂)) называется результатом алгебраической операции f.

На X может быть задано, вообще говоря, много разных операций.

Желая выделить одну из них, используют скобки: (X, *), и говорят,

что операция * определяет на X алгебраическую структуру или что

(X,*) — алгебраическая структура (алгебраическая система).

Определение 2. Бинарная операция * на множестве X называется ассоциативной, если (x * y) * z = x * (y * z) для всех x, y, z из множества M; она называется коммутативной, если x * y = y * x.

Определение 3. Элемент е X называется нейтральным (или единичным) относительно рассматриваемой бинарной операции *, если е * x = x * е = x

для всех х X. Если е' — ещё один единичный элемент, то, как следует из определения, е' = е' * е = е. Стало быть, в алгебраической структуре (X,*) может существовать не более одного нейтрального элемента.

Определение 4. Элемент x' X называется обратимым относительно рассматриваемой бинарной операции *, если x' * x = x * x' = e для всех х X. Если x” — ещё один обратный элемент к х, то, как следует из определения,

е= x'*x x” = е*х”= (x'*x)*x”=x'*(x*x”)=x'*e=x'. Стало быть, в алгебраической структуре (X,*) может существовать не более одного обратного элемента.

Определение 5. . Множество Х называется группой, если на нем задан групповой закон (произведение элементов), который каждой паре элементов x, y из множества Х сопоставляет третий элемент этого же множества, а также определена бинарная операция, удовлетворяющая следующим условиям:

1. Операция ассоциативна, т.е. для каждого x, y, z из множества Х

(x * y) * z = x * (y * z)

2. Существует нейтральный элемент e Х

3. Для любого элемента х Х существует обратный элемент х^-1 Х.

Группа Х называется абелевой (или коммутативной), если соответствующая алгебраическая операция коммутативна.

Группа Х называется конечной, если она состоит из конечного числа элементов, то есть | Х |< ∞.В противном случае группа называется бесконечной. Порядком конечной группы Х называется число элементов в ней | Х | .