1. Введение. Предмет и прикладное значение дисциплины. Основные понятия, терминология, модели жидкости.

Прикладная газодинамика – это наука, изучающая законы движения сжимаемых и несжимаемых легкоподвижных сред, взаимодействие и силы взаимодействия движущихся сред с твердыми и упругими телами.

Прикладное значение – математическое моделирование потоков жидкости, движущихся в канале.

Модели жидкости

В модели, для упрощения ее изучения, отброшены несущественные стороны реального объекта.

1. Сжимаемые/несжимаемые

2. Стационарные течения/нестационарные течения

Жидкость – любая легкоподвижная среда

Капельная жидкость отличается тем, что, будучи предоставлена самой себе (находясь в невесомости, либо в равенстве нулю равнодействующей всех внешних сил), под действием сил поверхностного принимают шарообразную форму. Вследствие значительной величины межмолекулярных сил и сил поверхностного натяжения капельные жидкости не в состоянии занять весь выделенный для них объем. Данное свойство не распространяется на течения, когда объем канала заполняется за счет притока жидкости.

Отличительной особенностью сжимаемых жидкостей (газов) является малый уровень межмолекулярных сил и отсутствие сил поверхностного натяжения. В силу этих обстоятельств газы не собираются в капли и полностью заполняют весь предоставленный им объем. Иногда сжимаемостью газов в описываемом процессе можно пренебречь, в этом случае принимают, что их поведение в потоках и качественно, и количественно неотличимо от поведения капельных жидкостей. Именно в этом случае по отношению к газам применимо понятие жидкости. Понятие газа применяется тогда, когда свойством сжимаемости пренебрегать нельзя. Однако и в этом случае понятие жидкости применимо, т.к. основным ее качеством является легкоподвижность, которой обладают и капельные жидкости, и газы.

Контрольный объем – ограниченный проницаемой поверхностью произвольный фиксированный в пространстве объем неизменной формы.

Жидкая частица – часть движущейся среды с непроницаемой поверхностью, способная перемещаться в пространстве и изменять форму (масса неизменна).

2. Основные математические понятия. Операторы и операции. Физический смысл дивергенции вектора скорости применительно к контрольному объему и жидкой частице. Формула Остроградского – Гаусса.

   Оператор Гамильтона

Оператор служит для удобства записи основных операций над скалярным ( ) или векторным ( ) полем – , , (векторные дифференциальные операции первого порядка). Он приобретает определенный смысл лишь в комбинации со скалярными или векторными функциями.

Символическое умножение вектора на скаляр или вектор производится по обычным правилам векторной алгебры, а умножение символов на величины как взятие соответствующей частной производной от этих величин.

Оператор Лапласа

После применения оператора Гамильтона к скалярному или векторному полю получается новое поле, к которому можно снова применить этот оператор. В результате получаются дифференциальные операции второго порядка, которых существует всего пять видов: , , , , . Остальные комбинации не имеют смысла, так как результатами векторных операций первого порядка является скаляр, векторные операции второго порядка над которым не имеют смысла. Оператор Гамильтона действует только на множитель, расположенный непосредственно за оператором.

1) :

2) :

Поле градиента есть поле безвихревое, так как векторное произведение двух векторов ( ) равно нулю:

3) :

4)

Смешанное произведение трех векторов, из которых два одинаковые, равно нулю. Это означает, что поле вихря – соленоидальное:

5)

Последнее преобразование – по свойству векторного произведения .