9. Логический аппарат исследования систем управления.

При наличии предметных данных и информации возможно применение логических методов исследования систем управления. Логика предложений является наиболее простым и доступным практически методом исследований на основании предметной информации и(или) качественного доказательства аналогии и идентификации состояний объекта или процесса. Логика дает схему и способы проведения правильных умозаключений.

Формальная логика устанавливает общие методы и схемы правильных умозаключений, поскольку схемы правильных умозаключений строятся с помощью логических символов, являющихся сокращенными знаками, заменяющими более длинные речевые обороты.

Используют следующие логические конструкции:

1. если...., то....

2 или....

3 и....

4 либо....

5 ни .... ни ....

6 тогда и только тогда, когда ....

7 неверно, что ....

При формулировке какого-либо заключения необходимо использовать импликацию.

Предложение, состоящее из двух предложений, объединенных выражением «или», называется дизъюнкцией или не исключающей альтернативой. Дизъюнкция может быть многочисленной.

Конъюнкция - предложение, составленное из двух предложений путем объединения их словом «и». В одном предложении утверждается, что произойдут оба события.

Эквивалентность - два предложения соединены оборотом «тогда и только тогда, когда ...». Ее используют при необходимости выразить взаимную обусловленность.

Отрицание - предложение, образованное из любого утверждения с помощью выражения «неверно, что ...». Это отрицание смысла предложения.

Исключающая альтернатива - предложение, образованное из двух предложений объединенных выражением «... либо...»

Одновременное отрицание - это предложение, объединяющее два предложения с помощью выражения «ни ни...».

Существуют два метода получения правильных умозаключений:

• использование правил вывода;

• использование логических законов.

Логические правила, называемые директивами логики, можно рассматривать как предписание, позволяющее признавать правильными предложения, образованные из данных в зависимости от того, какой вид имеют предложения, уже признанные истинными (выводы - посылки). Правило отделения - это основное правило правильного умозаключения.

Правило отделения позволяет признавать истинными новые предложения. Суть правила отделения: умозаключение правильное, если из двух посылок:

1. Если р, то q;

2. Р получаем в качестве заключения:

3. q

Наше рассуждение правильное, если из двух посылок, среди которых одна является импликацией, а другая совпадает с условием этой импликации, мы выводим предложение, совпадающее с заключением той же импликации, т.е. получаем заключение импликации в качестве самостоятельного истинного утверждения, тем самым условие становится как бы излишним, поскольку мы можем высказывать то, о чем говорит заключение, без всяких оговорок и условий.

Законами логики предложений называются схемы построения истинных сложных предложений. Тем самым обеспечивают их правильность. В законах логики используют такие связки между предложениями как «или», «если..., то...».

В законах логики нет простых предложений, в них вместо простых предложений входят так называемые переменные предложения или буквы (символы), такие, что если на их место поставить произвольные простые предложения, то получится истинное сложное предложение.

Следует отметить, что термины «закон», «теорема», «тезис»употребляются на равных правах.

1. Закон исключенного третьего: Р или (неверно, что р).

2. Закон непротиворечивости: {неверно, что [р и (неверно, что р)] или неверно,

что [р и (не р)]},

т. е. два противоречащих предложения не могут быть истинными одновременно. При этом необходимо, чтобы предложения были четко однозначно обусловлены и относились к одному моменту.

Если в какой-то теории есть противоречащие друг другу предложения, то это всегда считалось и считается признаком противоречивости и ошибочности такой теории.

3. Закон двойного отрицания:

{Если [неверно, что (неверно, что р)], то р} или {Если [не (не р)], то р} или {Если р, то [не (не р)]},

т. е. если отрицать дважды какое-то предложение, то в результате получится, что высказывается первоначальное предложение, будто никакого отрицания не было.

4. Закон контрапозиции:

{Если (если р, то q), то [если (неq), то (не р)]}

5. Законы, характеризующие конъюнкцию.

Конъюнкция перестановочна, так как ее члены можно менять местами. При этом действуют следующие законы:

Если (р и q), то (qи р);

Если (р и q), то (р);

Если (р и q), тоq;

Если (р), то [если q, то (р иq)].

6. Законы импликативных силогизмов.

Импликации могут быть как посылками умозаключений, так и заключениями, поэтому в рассуждениях играют важную роль такие теоремы логики, которые позволяют из двух посылок, являющихся импликациями, сделать некоторый вывод, также являющийся импликацией. Такие теоремы по их сходству с традиционными логическими схемами называют импликативными силогизмами.

В традиционной логике силогизмами называют некоторые схемы умозаключений, не принадлежащие логике предложений, которые приводят от двух посылок определенного вида к выводу, также имеющему некоторый определенный, хотя, может быть, и иной вид.

7. Законы, характеризующие дизъюнкцию. Дизъюнкция является перестановочной.

Если ( р или q), то (qили р );

Если (qили р ), то (если ( не р ), тоq).

8. Законы, характеризующие эквивалентность. Эквивалентность обладает свойством коммутативности:

{ Если ( р тогда и только тогда, когда q), то (qтогда и только тогда, когда р)};

{ Если ( р тогда и только тогда, когда q), то (если (q), то р)}.

Кому-то из читателей проведение такого рода доказательств может показаться излишним. Но если это не сделано, то всегда есть опасность некорректного применения аналогии или, наоборот, необоснованного использования рискованных оригинальных методов при существовании проверенных аналогов.