24. Математические методы параметрических прогнозных исследований.

Параметрические методы исследования можно применять тогда, когда за время упреждения не изменяются ни функции, ни структура объекта прогнозирования.

Метод наименьших квадратов. Метод применим, если за время упреждения функции, структура объекта прогнозирования не изменяются, а могут изменяться только значения его параметров. Использование метода наименьших квадратов предполагает обязательное удовлетворение целого ряда предпосылок. Перечислим эти предпосылки :

1. Случайные ошибки имеют нулевую среднюю (отсутствуют систематические ошибки), конечные дисперсию и ковариацию.

2. Каждое измерение случайной ошибки характеризуется нулевым средним, не зависящим от значений наблюдаемых переменных.

3. Дисперсии каждой случайной ошибки одинаковы, их величины независимы от значений наблюдаемых переменных (гомоскедастичность).

4. Отсутствует автокорреляция ошибок, т. е. значения ошибок различных наблюдений независимы друг от друга.

5. Нормальность, т. е. случайные ошибки, имеют нормальное распределение.

6. Значения тренда (эндогенной, т. е. внутренней переменной) свободны от ошибок измерения и имеют конечные средние значения и дисперсии.

Невыполнение этих предпосылок может сделать применение этого метода некорректным или привести к чрезмерным ошибкам прогноза.

Сущность метода состоит в отыскании коэффициентов модели тренда, приводящих к минимизации ее отклонения от точек исходного временного ряда:

где: - расчетные значения тренда;

-фактическое значение ретроспективного ряда;- число наблюдений.

Если модель тренда представить в виде:

где: а₁,а₂,...,а_k-параметры модели;t- время; Х_i- независимые переменные;

то для того, чтобы найти параметры модели, удовлетворяющие условию минимума S, необходимо приравнять нулю первые производные величиныSпо каждому из коэффициентовa_i. Решая полученную систему уравнений с к неизвестными, находим значения коэффициентова-,.

Выбор модели в каждом конкретном случае осуществляется по целому ряду статистических критериев, например, по дисперсии, корреляционному отношению и др. Следует отметить, что названные критерии являются критериями апроксимации, а не прогноза. Однако, принимая во внимание принятую гипотезу об устойчивости процесса в будущем, можно предполагать, что в этих условиях модель, наиболее удачная для апроксимации, будет наилучшей и для прогноза.

В ряде случаев при исследованиях для выбора вида функциональной зависимости используется прием, основанный на том, что определенные соотношения между изменениями входной и выходной величины предполагают ту или иную функциональную зависимость. При соответствующих отношениях входных и выходных величин могут быть рекомендованы следующие апроксимирующие зависимости:

Важной характеристикой прогноза с применением метода наименьших квадратов является оценка точности и достоверности полученного результата.

Наиболее простыми и применимыми практически оценками точности являются: средняя относительная ошибка оценки, среднее линейное отклонение.

Средняя относительная ошибка оценки может быть найдена по формуле:

Среднее линейное отклонение может быть найдено по формуле:

Для оценки точности решения большинства практических задач прогнозирования этого оказывается достаточно. Это связано с относительно невысокой точностью и достоверностью исходных данных. Однако в некоторых случаях, например, фундаментальных исследований, для оценки точности и достоверности результата прогноза используется целый ряд статистических характеристик . В частности, определяют границы доверительного интервала, внутри которого будет лежать прогнозируемое значение зависимых переменных с заданной доверительной вероятностью. При этом считается, что ошибки прогноза распределены нормально относительно линии регрессии и взаимно независимы.

При использовании в процессе математического прогнозирования современных программных продуктов прогнозист задает исходные ретроспективные данные, вид апроксимирующей функции. На выходе, в результате работы ЭВМ прогнозист получает как оценку прогнозируемого параметра, так и оценки точности и достоверности этого прогноза.

Классический метод наименьших квадратов предполагает равноценность исходной информации. Однако, на практике, зачастую, будущее поведение объекта или процесса прогнозирования в большей степени определяется поздними наблюдениями, чем ранними. Это обстоятельство породило прием дисконтирования информации. Формальных процедур выбора коэффициента дисконтирования не разработано. Обсуждаемые коэффициенты выбираются исследователем интуитивно, что может снижать точность прогнозирования.

Спектральный анализ . Этот метод позволяет прогнозировать процессы, динамика которых содержит колебательные или гармонические составляющие. К такого рода процессам относятся сезонные колебания спроса, макроэкономические процессы, энергопотребление и т. д.

При описании такого процесса выделяют четыре компоненты прогнозной модели:

x₁(t) - вековой уровень, описывается гладкими апериодическими функциями;

x₂(t) - сезонные колебания с двенадцатимесячным периодом;

x₃(t) - колебания с периодом, большим, чем двенадцать месяцев;

q(t) - случайные колебания с широкими по диапазону периодами, но небольшой интенсивностью.

Модель имеет вид:

x(t) = x₁(t) + x₂(t) + x₃(t) + q(t).

Для расчета первой компоненты модели можно использовать экспоненциальное сглаживание.

Остальные компоненты описывают тригонометрическим полиномом:

где:- частота колебаний;b_i,c_i- амплитуды колебаний;- ошибка.

Методическая основа метода - анализ периодограмм.

Факторный анализ позволяет проводить максимально возможный учет совокупности переменных, характеризующих объект, и взаимосвязи между ними. При этом прогнозист вынужден искать компромисс между числом переменных в описании, отражающем полноту прогноза, и его сложностью, трудоемкостью. Факторный анализ представляет собой раздел математической статистики и включает большое число методов.