Упражнения для самостоятельной работы

78. Вычислить интеграл , если

а) отрезок действительной оси от точкидо;

б) полуокружность,.

79. Вычислить , если

а) отрезок прямой, соединяющий точкии;

б) дуга окружностиот точкидо точки;

в) замкнутый контур:,.

80. Вычислить интеграл .

81. Вычислить , если

а) точки вне контура;

б) точка лежит внутри, авне контура;

в) точка лежит внутри, авне контура;

г) точки лежат внутри контура.

82. Вычислить интеграл , гдеокружность с центром в точкеи радиусом.

83. Вычислить .

84. Вычислить:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

6. Ряды в комплексной области

6.1. Ряды с комплексными членами Ряд

, (6.1)

где , есть числовой ряд с комплексными членами.

Если сходится ряд , то сходится и ряд (6.1), называемый в этом случае абсолютно сходящимся.

Сходимость ряда (6.1) с комплексными членами эквивалентна сходимости рядов ис действительными членами. В силу этого ряд теорем, относящихся к рядам с действительными членами, в том числе признаки сходимости, переносятся на ряды с комплексными членами.

Функциональный ряд вида

, (6.2)

где ,комплексные числа,комплексное переменное, называетсястепенным рядом по степеням . В частности, приимеем рядпо степеням.

Как следует из теоремы Абеля, областью степенного ряда (6.2) является круг с центром в точке, радиускоторого может быть определен применением признаков Даламбера и Коши. Приведем их формулировки.

Признак Даламбера. Если существует конечный предел , то приряд (6.1) сходится абсолютно, а прирасходится (прирасходится не только ряд, но и ряд (6.1)).

Признак Коши. Для числового ряда (6.1) положим . Тогда, если, то ряд сходится абсолютно, еслиряд расходится.

Обобщением степенного ряда (6.2) является ряд по целым отрицательным степеням вида

(6.3)

Областью сходимости этого ряда является внешность круга , гдеопределяется также с помощью признаков Даламбера и Коши.

6.2. Ряды Тейлора и Лорана

Функция , однозначная и аналитическая в точке, разлагается в окрестности этой точки в степенной ряд

, (6.4)

коэффициенты которого определяются по формулам

или . (6.5)

Этот ряд называется рядом Тейлора для функции .

Радиус круга сходимостиряда Тейлора (6.4) - (6.5) равен расстоянию от точкидо ближайшей кособой точки функции(особая точка – это такая точка, в которой функция не является аналитической).

Приведем разложения в ряды Тейлора некоторых элементарных функции в окрестности точки .

,

, ,

, , (6.6)

, .

Функция , однозначная и аналитическая в кольце(не исключаются случаи, когда), разлагается в этом кольце в обобщенный степенной ряд

, (6.7)

коэффициенты которого определяются по формулам

. (6.8)

Этот ряд называется рядом Лорана функции .

В формуле (6.7) называетсяглавной частью ряда Лорана, а ряд называетсяправильной частью ряда Лорана.

Формула (6.8) малоудобна для вычисления коэффициентов ряда Лорана, поэтому часто для разложения функции в ряд Лоран пользуются искусственными приемами, которые будут рассмотрены на примерах. Ряды Тейлора и Лорана функции определяются единственным образом. Эти ряды в области сходимости можно почленно дифференцировать и интегрировать.