Упражнения для самостоятельной работы

104. Найти вычеты функций относительно их особых точек:

а) ; б);

в) ; г).

105. Найти вычеты функций относительно точки :

а) ; б);

в) ; г).

106. Вычислить контурные интегралы:

а) ; б);

в) ; г),

где прямоугольник с вершинами в точках,,,.

8.3. Применение вычетов к вычислению определенных и несобственных интегралов

При помощи вычетов можно вычислять не только комплексные, но и некоторые вещественные интегралы. Если часть контура расположить на вещественной оси, то интеграл по этой части станет вещественным. Увеличивая размеры контураи его лежащего на осиучастка, в пределе можно получить интеграл по всей вещественной оси. Для некоторых подынтегральных функций интеграл по остальной части контурастремится к нулю. На этих рассуждениях основано доказательство следующих теорем о вычислении вещественных интегралов.

Теорема 3. Пусть , гдемногочлены соответственно степенейи. Еслидля всехито

, (8.11)

где сумма берется по всем полюсам функции , расположенным в верхней полуплоскости.

Теорема 4. Пусть правильная рациональная дробь (т.е. степень числителя меньше степени знаменателя) и знаменательнеравен нулю;любое вещественное число. Тогда

; (8.12)

, (8.13)

где вычеты вычисляются во всех полюсах функции, лежащих в верхней полуплоскости.

Если в интеграле , гдерациональная функция аргументови, ограниченная на промежутке интегрирования, сделать замену,, то получим еще один вид вещественного интеграла, вычисляемого с помощью вычетов:

(8.14)

(мы учли, что ,при нашей замене, ипри,). Последний интеграл равен, умноженному на сумму вычетов относительно полюсов подынтегральной функции, заключенных внутри окружности.

Упражнения для самостоятельной работы

107. Вычислить .

Решение. У функции полюса 2 порядка в точках. В верхней полуплоскости лежит только точка. Вычетравен

Поэтому по теореме I

108. Вычислить

Решение. Так как подынтегральная функция четная, то . У функциив верхней полуплоскости имеется один полюс 2-го порядка в точке.

Поэтому

Упражнения для самостоятельной работы

109. Вычислить определенные интегралы:

а) б)

в) г)

110. Вычислить несобственные интегралы:

а) ; б);

в) ; г) ;

д) ; е) ;

ж) ; з) .

Условие дифференцируемости,можно заменить более удобным для пользования условием непрерывности частных производных этих функций по обеим переменными.

73