- •Глава 1. Элементы теории функции комплексного переменного
- •Комплексные числа и действия над ними
- •Упражнения
- •Упражнения для самостоятельной работы
- •2. Множества точек, линии, области на комплексной плоскости
- •Упражнения
- •Упражнения для самостоятельной работы
- •3. Функции комплексного переменного. Предел. Непрерывность функции. Основные элементарные функции
- •1. Дробно - рациональная функция
- •Упражнения для самостоятельной работы
- •4. Производная функции комплексного переменного. Условия дифференцируемости. Аналитические функции. Понятие о конформном отображении
- •Упражнения
- •Упражнения для самостоятельной работы
- •5. Интегрирование функции комплексного переменного
- •5.1. Интеграл от функции комплексного переменного
- •5.2. Вычисление интеграла от аналитической функции
- •5.3. Интегральная формула Коши
- •Упражнения
- •Упражнения для самостоятельной работы
- •6. Ряды в комплексной области
- •6.1. Ряды с комплексными членами Ряд
- •6.2. Ряды Тейлора и Лорана
- •Упражнения
- •Упражнения для самостоятельной работы
- •7. Изолированные особые точки функции комплексного переменного
- •7.1. Классификация изолированных особых точек
- •7.2. Ряды и особые точки
- •7.3. Нули аналитической функции. Связь между нулем и полюсом
- •7.4. Особенности функции в бесконечно удаленной точке
- •Точка называется существенно особой для функции, еслине существует.
- •Упражнения
- •Упражнения для самостоятельной работы
- •8. Вычеты и их применение к вычислению контурных интегралов
- •8.1. Вычет функции и его вычисление
- •8.2. Теоремы о вычетах и их применение к вычислению контурных интегралов
- •Упражнения
- •Упражнения для самостоятельной работы
- •8.3. Применение вычетов к вычислению определенных и несобственных интегралов
- •Упражнения для самостоятельной работы
- •Упражнения для самостоятельной работы
Упражнения
Написать в комплексной форме уравнение кривой :
.
Решение. 1-й способ. Согласно (2.1) имеем параметрическое уравнение кривой .
2-й способ. Легко видеть, что данная кривая – парабола . Перейдем в этом уравнении к комплексному переменному, воспользовавшись
формулами (2.2), , откуда получаем
.
Написать уравнение окружности в комплексной форме.
Решение. 1-й способ. Рассмотрим окружность как множество точек , равноудаленных на расстояниеот центра. Тогда имеем.
2-й способ. Как известно, параметрические уравнения окружности радиуса с центром в точкеимеют вид
где .
Следовательно, . Если воспользоваться показательной формой комплексного числа, то полученное уравнение можно записать в виде.
Написать уравнение эллипса с фокусами в точках и, большая ось которого равна.
Рис.2.1 |
Решение. По определению эллипса . Здесьирасстояния произ-вольной точкиэллипса до фокусовисоответственно (рис.2.1). Следовательно, уравнение эллипса в комплексной форме имеет вид. |
Расстояние между фокусами: , а малая полуось по известнымиопределяется из формулы.
Выяснить геометрический смысл уравнения .
Рис.2.2 |
Решение. 1-й способ геометрический. В данном случае множество точек, равноудаленных от точеки. Очевидно, это есть прямая, перпендикулярная отрезкуи проходящая через его середину (рис.2.2). |
2-й способ аналитический. Пусть , тогда
.
Поскольку левые части последних соотношений равны, то равны и их правые части, т.е. . После упрощения получаем уравнение прямой линии.
Какая кривая определяется уравнением ?
Решение. Из области определения функции исключается точка , пусть. Тогда. Следовательно,. По условиюили, откуда следует, что данное условие определяет окружность,.
Определить, какое множество точек удовлетворяет условию .
Рис.2.3 |
Решение. Так как по определению , то данное неравенство может быть записано в виде. Следовательно, искомое множество точек – полоса между прямымии, включая эти прямые (рис. 2.3). |
26. Построить на комплексной плоскости области, заданные условиями:
а) ; б),.
Решение. а) Искомое множество точек удовлетворяет двум неравенствам: и. Первое условие определяет точку эллипса с фокусамии, для которого,,(уравнение эллипса в действительных переменных:). Второе уравнение – внутренность эллипса с фокусами в тех же точках с полуосямии(уравнение эллипса в действительных переменных).
Рис.2.4 |
Искомое множество точек – часть плоскости, заключенная между двумя эллипсами (рис. 2.4), включая сами эллипсы. |
б) Легко видеть, что множество точек, удовлетворяющих условию , есть внутренность кольца, ограниченного окружностямиис центрами в начале координат и радиусами 1 и 2. Система неравенствопределяет множество точек, составляющих угол между лучамии, причем точки первого луча принадлежат области, а второго – нет.
Пересечение указанных множеств определяет искомую область , которая изображена на рис. 2.5.
27. Какое множество точек комплексной плоскости определяется условием ?
Решение. Пусть . Тогдаи. Следовательно,. По условиюили. Полученное неравенство определяет множество точек, изображенных на рис. 2.6.
Рис.2.5 |
Рис.2.6 |