5.3. Интегральная формула Коши

Если аналитична в области,иконтур, охватывающий точку, то имеют место следующие формулы:

, (5.8)

(5.9)

(контур может быть объединением контуров(см. рис.5.2)).

Формула (5.8) называется интегральной формулой Коши, а интеграл в правой части (5.8) – интегралом Коши. Интегральная формула Коши позволяет находить значение аналитической функции в любой точке, лежащей внутри области , если известны значения этой функции на контуре, ограничивающем. Если точкалежит вне области, то интеграл Коши равен нулю в силу теоремы Коши, так как в этом случае подынтегральная функция является аналитической в области.

Формулы (5.8) и (5.9) могут служить для вычисления интегралов по замкнутым контурам.

Упражнения

70. Вычислить интеграл по линиям, соединяющим точкии

а) по прямой, б) по параболе (рис.5.4).

Рис.5.4

Решение. Функция не является аналитической (проверьте!), поэтому вычисление интеграла возможно как по формуле (5.2), так и по формуле (5.3). Найдем действительную и мнимую части подынтегральной функцииПо формуле (5.2) имеем .

а) Уравнение отрезка прямой, проходящей через точки и, значит.

Тогда получаем

.

б) 1-й способ. Уравнение дуги параболы: , значит,и

2-й способ. Воспользуемся формулой (5.3). Параметрические уравнения параболы имеют вид , а в комплексной форме -. Находими

.

71. Вычислить интеграл .

Решение. Так как аналитична всюду, то по формуле Ньютона-Лейбница (5.7) имеем

.

72. Вычислить интеграл .

Решение. Функции иявляются аналитическими всюду. Применяя формулу интегрирования по частям, получим

.

73. Вычислить интеграл по контуру.

Решение. Так как аналитична всюду и контур интегрированиязамкнутый, то в силу теоремы Коши (5.4).

74. Вычислить , где:

а) окружность. б)окружность.

Решение. а) Функция аналитична в замкнутом круге, поэтому по теореме Коши.

б) Воспользуемся интегральной формулой Коши (5.8), положив . Функцияаналитична в круге, а точкалежит в этом круге. Поэтому

.

75. Вычислить интеграл .

Решение. Внутри области, ограниченной окружностью находится одна точка, в которой знаменатель дроби обращается в нуль. Для применения формулы (5.8) интеграл перепишем в виде.

Здесь функция является аналитической в круге, а точкавнутренняя точка круга, поэтому имеем

.

76. Вычислить интеграл .

Рис.5.5

Решение. В круге функцияаналитическая всюду, кроме точеки. Вырежем из данного круга областии, ограниченными любыми не пересекающими замкнутыми контурамии, причеми(рис. 5.5). Тогда в силу теоремы Коши для многосвязной области (формула (5.5)) имеем

. В качестве имож-

но взять любые контуры, в частности окружности. Пусть и(рис. 5.5). Каждый из интеграловиможно вычислить по интегральной формуле Коши

;

.

Таким образом,

.

77. Вычислить интеграл , гдепроизвольный замкнутый контур, однократно обходящий точкув положительном направлении.

Решение. Внутри контура подынтегральная функция является аналитической всюду, кроме точки. Для вычисления интеграла воспользуемся формулой (5.9), выделив аналитическую в указанной области функцию, полагая. Так как, то в соответствии с (5.9).