Упражнения для самостоятельной работы

91. Исследовать на сходимость ряды:

а) ;

б) ;

в) .

92. Найти область сходимости рядов:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

93. Разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности точки и найти радиус сходимости:

а) ,;

б) ,;

в) ,.

94. Разложить функцию в ряд Лорана в указанной области:

а) ,;

б) ,;

в) ,;

г),.

7. Изолированные особые точки функции комплексного переменного

7.1. Классификация изолированных особых точек

Точки плоскости , в которых однозначная функцияявляется аналитической, называютправильными точками функции, а точки, в которых функция не является аналитической, называют особыми точками (в частности, точки, в которых не определена).

Точка называетсяизолированной особой точкой функции , еслианалитична в некоторой окрестности этой точки, за исключением самой точки.

В зависимости от проведения функции в окрестности особой точки различают три типа особенностей.

Изолированная особая точка функцииназывается:

а) устранимой особой точкой, если существует конечный предел

, (7.1)

б) полюсом, если

, (7.2)

причем полюсом -го порядка, если

, (7.3)

и простым полюсом при ;

в) существенно особой точкой, если не существует (ни конечный, ни бесконечный).

7.2. Ряды и особые точки

Имеют место следующие утверждения:

1. Для того, чтобы изолированная особая точка функциибыла устранимой, необходимо и достаточно, чтобы лорановское разложениев окрестности точкине содержало главной части, т.е. имело вид

. (7.4)

2. Для того, чтобы изолированная особая точка функциибыла полюсом-го порядка, необходимо и достаточно, чтобы главная часть лорановского разложения содержала лишь конечное числочленов

, . (7.5)

3. Для того, чтобы изолированная особая точка функциибыла существенно особой, необходимо и достаточно, чтобы главная часть лорановского разложения содержала бесконечно много членов.

7.3. Нули аналитической функции. Связь между нулем и полюсом

Точка называетсянулем функции , если. Точканазываетсянулем порядка , если

, а. (7.6)

Ряд Тейлора в окрестности точки нуля порядкафункцииимеем вид

Теорема. Для того, чтобы точка была нулем порядкафункции, необходимо и достаточно, чтобы имело место равенство

, (7.7)

где аналитична в точкеи.

Для определения порядка нуля функции полезно помнить, что если нуль порядкадляи нуль порядкадля, тонуль порядкадля произведения, порядка(при) для частного;правильная точка, не являющаяся нулем прии особая точка при.

Теорема. Для того, чтобы точка была полюсом порядкадля функции, необходимо и достаточно, чтобы эта точка была нулем порядкадля функции.

7.4. Особенности функции в бесконечно удаленной точке

Под точкой понимают абстрактную точку плоскости, окрестностью которой, является множество чисел, удовлетворяющих неравенству, гделюбое действительное положительное число. Ряд Лорана функциив окрестности точкиопределяют с помощью замены переменнойдля функциив окрестности точки. Ряд Лорана в окрестности точкиимеет вид

,

где главная часть,

правильная часть.

Поведение функции в окрестности бесконечно удаленной точки дает возможность классифицировать ее особенности в этой точке.

Точка называетсяустранимой особой точкой функции, если , где.

Ряд Лорана в этом случае не содержит положительных степеней

.

Точка называетсяполюсом функции, если .

Если ряд Лорана в окрестности содержит конечное числоположительных степеней:

,

то точка называется полюсом порядка.