Упражнения для самостоятельной работы

62. Выяснить, дифференцируемы ли следующие функции. В случае дифференцируемости найти производную:

а) : б)в); г).

63. Выяснить, какие из следующих функций являются аналитическими хотя бы в одной точке, а какие – нет:

а) : б)в).

64. Показать, что условия Коши-Римана в полярных координатах имеют вид , и проверить выполнение этих условий для функций: а): б). Являются ли эти функции аналитическими и где?

65. Найти аналитическую функцию в области по действительной или мнимой части:

а) ; б); в).

66. Найти коэффициент подобия и угол поворотапри отображении с помощью функциив точках:

а) б).

67. Найти коэффициент подобия и угол поворота при отображении в данной точке

а) б).

68. Выяснить, какая часть комплексной плоскости растягивается, а какая – сжимается при отображении с помощью функции .

69. Является ли конформным отображение:

а) , б); в).

5. Интегрирование функции комплексного переменного

5.1. Интеграл от функции комплексного переменного

Пусть в области плоскостизадана однозначная непрерывная функцияи пустькусочно-гладкая направленная кривая, принадлежащаявместе со своими концамии.

По определению полагают

, (5.1)

где произвольная точка элементарной дугипри произвольном разбиении дугиначастей точками.

При данных условиях интеграл от функции вдоль кривой, как предел интегральной суммы (5.1), существует.

Вычисление интеграла от функции комплексного переменного сводится к вычислению двух криволинейных интегралов 2-го рода по формуле

. (5.2)

Из формулы (5.2) следует, что на интегралы от функции комплексного переменного распространяются известные свойства криволинейных интегралов.

Если кривая задана параметрическими уравнениями , что равносильно одному уравнению в комплексной форме, то имеет место удобная для вычисления интеграла формула

(5.3)

5.2. Вычисление интеграла от аналитической функции

Интеграл , вообще говоря, зависит от пути интегрирования. Условием независимости интеграла от пути интегрирования является аналитичность подынтегральной функции.

Важную роль в теории функций комплексного переменного играет интегральная теорема Коши. Приведем две формулировки теоремы для одно- и многосвязной областей.

Пусть кусочно-гладкая замкнутая кривая, будем ее называть замкнутым контуром.

Теорема Коши (для односвязной области). Пусть функция аналитична в односвязной области, тогда для любого замкнутого контура(рис.5.1) имеет место равенство

. (5.4)

Теорема Коши (для многосвязной области). Пусть аналитична в многосвязной области, ограниченной внешним контуроми внутренними контурами. Тогда имеет место равенство

(5.5)

при условии, что интегрирование по всем контурам производится против часовой стрелки (рис.5.2).

Как следствие последней теоремы (для двусвязной области) следует отметить утверждение: если аналитична в областивсюду, кроме, то

, (5.6)

где ипроизвольные контуры в, содержащие особую точку(рис.5.3).

Рис.5.1

Рис.5.2

Для аналитической функции имеет место формула Ньютона-Лейбница

, (5.7)

где первообразная для, т.е.. Этой формулой можно пользоваться для вычисления интеграла вдоль пути, лежащего в односвязной области, гдеаналитична, если известна первообразная для.

Рис.5.3

Техника нахождения неопределенных интегралов в комплексном анализе та же, что и в действительном, таблица основных интегралов в обоих случаях одинакова.