Упражнения для самостоятельной работы

В задачах 28 – 34 определить и изобразить линии, точки которых удовлетворяют уравнениям.

28. . 29..

30. , 31.,.

.

32. . 33..

34. .

В задачах 35 – 40 найти множества точек комплексной плоскости, которые определяются неравенствами.

35. . 36..

37. . 38..

39. . 40..

3. Функции комплексного переменного. Предел. Непрерывность функции. Основные элементарные функции

Говорят, что на множестве точек плоскостизадана функция, если каждой точкепоставлено в соответствие одно (однозначная функция) или несколько (многозначная функция) значений комплексного переменного. Мы будем рассматривать только такие функции, для которых множестваиявляются областями, причемназываетсяобластью определения, а областью значений функции .

Задание функции комплексного переменного равносильно заданию двух функций действительных переменных,:

, (3.1)

где ,.

Это позволяет свести изучение функции комплексного переменного к изучению двух функций действительных переменных.

Геометрически заданную на D однозначную функцию можно рассматривать как отображение точек областиD плоскости z в некоторую область G плоскости w. В этом отображении и проявляются свойства функции (рис. 3.1).

Точки z, линии , области называют прообразами точек, линийи областейсоответственно, аw, ,называют образами при отображении.

Если в плоскости z кривая задана неявным уравнением , то для нахождения уравнения ее образав плоскостиw при отображении, осуществляемом функцией , достаточно

исключить x и y из уравнений

Рис.3.1

Если кривая задана параметрически уравнениями или ,, то можно получить параметрические уравнения, представив действительную и мнимую частикак функции параметраt:

.

Комплексное число называетсяпределом функции при, если для любогонайдетсятакое, что для всех, удовлетворяющих неравенству, выполняется неравенство. В этом случае пишут.

Существование , где, равносильно существованиюи, причем

.

Функция называетсянепрерывной в точке , если она определена в точкеи ее окрестности и, гдеконечное комплексное число.

Функция, непрерывная в каждой точке области D, называется непрерывной в этой области.

Для того, чтобы функция была непрерывна в точке, необходимо и достаточно, чтобы ее действительная и мнимая части были непрерывными функциями в точке.

Отметим, что понятия предела и непрерывности функции комплексного переменного вводятся аналогично, как это делается для функции действительного переменного. Свойства пределов и непрерывных функции действительного переменного остаются в силе для функций комплексного переменного.

Приведем некоторые элементарные функции комплексного переменного.

1. Дробно - рациональная функция

,. (3.2)

в частности, многочлен .

2. Показательная функция

, (3.3)

которая в отличие от функции действительного переменного является периодической функцией с периодом , т.е..

3. Тригонометрические функции

,, (3.4)

,(3.5)

Для тригонометрических функций остаются в силе все формулы тригонометрии. В отличие от тригонометрических функций действительного аргумента модули функции имогут быть больше 1.

4. Гиперболические функции

,, (3.6)

,. (3.7)

Тригонометрические и гиперболические функции связаны между собой следующими соотношениями:

. (3.8)

5. Логарифмическая функция

(3.9)

Из (3.9) видно, что логарифмическая функция – функция многозначная, ее значения для данного значения z отличаются друг от друга на число . Значение логарифма, соответствующее, называетсяглавным и обозначается

(3.10)

Логарифмическая функция комплексного переменного обладает известными свойствами логарифма действительного переменного.

6. Обобщенные степенная и показательная функции

, (3.11)

где a – любое комплексное число;

, (3.12)

где .

В силу многозначности логарифма, выражение, определяемое равенством (3.12), многозначно. Его главным значением называется то, которое получается при подстановке в правую часть (3.12) вместо Lna.

УПРАЖНЕНИЯ

41. Выделить действительную и мнимую части функции .

Решение. Пусть . Тогда по определению показательной функции (3.2) имеем, откуда,.

42. Найти значение функции в точке, иначе говоря, найти образ точкипри отображении.

Решение. Используя формулы привидения и (3.8), находим

, .

Этот пример показывает, что функция в комплексной области может принимать значения, больше единицы по модулю.

43. Найти корни уравнения и изобразить их на плоскости.

Решение. По определению функции , из (3.4) имеем

, откуда . Полученное квадратное уравнение относительноимеет корни. Следовательно, в силу определения логарифмической функции (3.9) с учетом (3.10) получаем

, . Отсюда определяем:,.

Итак, получены две серии корней

, , (). Учитывая, что, вторая серия корнейперепишется в виде.

Рис.3.2

Таким образом, корнями данного уравнения являются точки, расположенные на прямых, параллельных действительной оси и отстоящих от нее на расстоянии(рис. 3.2).

При изображении чисел учтено, что .

44. При отображении найти:

а) образ прямой линии ;

б) образы прямоугольной сетки, т.е. прямых, параллельных осям координат: ,;

в) образ линии ,;

г) образ области ,,;

д) образ области внутренность треугольника с вершинами в точках 0; 1;.

Решение. а) Линия прямая, заданная уравнением в действительных переменных, от которого можно перейти к параметрическим уравнениям,.

Полагая , определим действительную и мнимую части функции:,.

Для того, чтобы найти уравнение образа данной прямой, исключимиз уравнений, в результате чего получим параметрические уравнения:. Если из полученных уравненийисключить параметр, то придем к уравнению образа в плоскостив действительных переменныхи:. Как видно, искомый образ есть парабола (рис. 3.3);

Рис.3.3

б) Чтобы найти образы семейства прямых , подставим вместоего значение в действительную и мнимую части функции:,. Исключив отсюда, получимсемейство парабол, симметричных относительно оси, вершины которых находятся на положительной части этой оси, а ветви направлены в сторону отрицательной части оси(рис. 3.4). В частности, приисоответственно имееми.

Мнимая ось плоскостиотобразится в линию.

Второе из равенств указывает, что образ прямой на оси, а из первого равенства следует, чтоможет принимать лишь отрицательные значения. Следовательно, мнимая осьплоскостиотображается на отрицательную часть действительной оси плоскости:.

Семейство прямых отображается в семействе кривых

или.

Рис.3.4

Получим семейство парабол симметричных относительно оси . Вершины находятся на отрицательной части , направление ветвей совпадает с положительным направлением оси(рис.3.4). В частности, приимеем.

При получаем. Это значит, что действительная осьплоскостиотображается в положительную часть действительной оси плоскости:.

Итак, сетка прямых линий, отразится в «сетку» параболических кривых в плоскости.

Рис.3.5

в) Линия полуокружность верхней полуплоскости с центром в начале координат и радиусом. Уравнение кривой запишем в комплексно–параметрической форме, где.

Тогда , откуда следует, что. Значит, при отображенииточки, лежащие на полуокружности плоскостиz, перейдут в точки, лежащие на окружности плоскости(рис.3.5).

г) Для отыскания образа областиможно найти образее границы (если область замкнутая или ограниченная), а затем выяснить расположение искомой области относительно ее границы. Ели произвольная точкапереходит в точку, лежащую внутри контура, то областьесть ограниченная область – множество точек плоскости, лежащих внутри контура. Если точкапереходит в точку, лежащую вне контура, то областьесть область неограниченная, расположенная вне линии. По условию областьплоскостиесть четверть круга в первой четверти координатной плоскости (рис.3.6).

Рис.3.6

Как было показано в предыдущих пунктах б) и в) задачи, мнимая ось переходит в отрицательную полуось, действительная ось– в положительную полуось, а дугаокружности плоскостиz переходит в полуокружность верхней полуплоскости.

На основании этого можно заключить, что образом контура плоскостиявляется контурплоскости(рис.3.6). Чтобы убедиться в этом, четверть кругаотображается в верхний полукруг:, покажем, что произвольная точка областипереходит в точку полукруга. Например, при, т.е..

д) область изображена на рис 3.7,а. Найдем последовательно образы участков границы области, при условии, что,.

a)

б)

Рис.3.7

Отрезок , уравнение которого, причем, имеет

своим образом линию: . Легко установить, что это есть часть параболы, т.к.(рис.3.7, б).

Отрезок , уравнение которого, где, имеет своим образом линию:, откуда имеем, причем,(рис.3.7, б).

Отрезок :,отображается в отрезок оси, так каки(рис.3.7, б).

Чтобы показать, откуда переходит внутренность треугольника , возьмем точку.

Найдем соответствующие значения . Таким образом, отображением прямолинейного треугольника плоскости, осуществляемого функцией, является криволинейный треугольник плоскости, представленный на рис.3.7, б.

45. Отобразить с помощью функции декартову координатную сетку.

Решение. Введем на плоскости декартовы, а на плоскостиполярные координаты, т.е. положим. По определению показательной функции имеем(по формуле Эйлера). Следовательно,

. (3.13)

Найдем образы координатных линий . Из равенства (3.13) имеем

. (3.14)

Когда точка пробегает прямую, ее образ, как следует из системы (3.14), пробегает окружность, причем бесконечно много раз. В силу периодичности показательной функциирассмотрим изменение ее аргумента в промежутке, что соответствует изменениюв том же интервале. Тогда образами отрезков,являются окружности радиусас центром в начале координат, пробегаемые один раз (рис.3.8).

Рис.3.8

Найдем теперь образы координатных прямых ,и пусть. В силу равенства (3.13) имеем

. (3.15)

Из системы (3.15) следует: когда точка пробегает прямую, точкапробегает луч, исходящий из начала координат(рис.3.8).

Итак, функция отображает прямые, параллельные мнимой оси, в окружности с центром в начале координат, а прямые, параллельные действительной оси, в лучи, выходящие из начала координат, иначе говоря, декартова прямоугольная сетка отображается в полярную координатную сетку. При этом заштрихованный прямоугольник,() плоскостиотображается в заштрихованную часть кольца плоскости(рис. 3.8).

46. Показать, что не существует.

Решение. Пусть точка стремится к нулевой точке по оси.

Тогда и. Пусть теперьпо оси.

Тогда ,и. Таким образом, пределы по двум направлениям различны, и, следовательно,не существует.

47. Вычислить .

Решение. .

.