8.2. Теоремы о вычетах и их применение к вычислению контурных интегралов

Теорема 1. (Основная теорема Коши о вычетах). Если функция аналитична в области, за исключением изолированных особых точекто для любого замкнутого контура, охватывающего эти точки

. (8.8)

Основная теорема о вычетах имеет важное значение для приложений. Она позволяет вычислять интегралы по закнутому контуру от функции комплексного переменного, не прибегая к первообразным или криволинейным интегралам. С помощью вычетов вычисляются определенные и несобственные интегралы от функций действительного переменного. При вычислении некоторых интегралов удобно пользоваться теоремой о сумме вычетов.

Теорема 2. Если функция аналитична в расширенной плоскости (т.е. включающей точку ), за исключением конечного числа изолированных особых точек то

(8.9)

или

. (8.10)

Упражнения

101. Найти вычеты функции относительно их особых точек

а) б)

в) г)

Решение. Особые точки данных функций и их характер определены в примере 97. Итак,

а) полюс 3-го порядка, поэтому по формуле (8.5) находим

б) простые полюсы, поэтому, воспользовавшись формулой (8.4), получаем

в) устранимая особая точка, следовательно,. Точкапростой полюс, согласно (8.3) имеем

.

Точки простые полюсы, тогда (8.4) получим

г) существенно особая точка. Для определения вычета относительно существенной точки надо получить разложение функции в окрестности этой точки. Как было показано в примере

97г) Согласно (8.2)

102. Вычислить вычеты относительно точки для функций:

а) б)

в)г)

Решение. Вычет функции относительно бесконечной удаленной точки можно определять по формуле (8.7), для чего необходимо получить лорановское разложение в окрестности данной точки.

а) Так как устранимая особая точкато лорановское разложение не содержит положительных степеней (главную часть), но содержит правильную часть, поэтому найдем ряд Лорана для данной функции в окрестностиоткуда видно, чтоследовательно,

Из примера следует, что вычет функции относительно бесконечно удаленной устранимой особой точки может оказаться отличным от нуля.

б) Как показано в примере 98 в), ряд Лорана в окрестности для данной функции имеет вид.Так как в разложении слагаемоеотсутствует, то

в) Как показано в примере 98 г), откуда следует, что

г) Разложить функцию в ряд Лорана с тем, чтобы вычислить вычет по формуле (8.7) трудно. Для вычисления вычета относительно бесконечно удаленной точки удобнее воспользоваться формулой (8.10). В этом случае нужно просто найти вычеты функции относительно её конечных изолированных особых точек и. Итак, по формуле (8.10) имеемУказанные точки являются полюсами 2-го порядка. Тогда в силу (8.5) находим

Аналогично находим

Таким образом, .

103. Используя теоремы о вычетах, вычислить контурные интегралы:

а) ; б); в) , где квадрат, ограниченный прямыми ,

, ,;

г) ; д) .

Рис.8.1

Решение. а) Подынтегральная функция имеет четыре простых полюса, из которых три :,,лежат в круге(рис.8.1). По основной теореме о вычетах (8.8) имеем

Вычеты вычисляем по формуле (8.4) , значит,,. Следовательно,.

б) Подынтегральная функция имеет две особые точки, из которыхпростой полюс,полюс 3-го порядка; причемнаходится в круге. Поэтому. По формуле (8.5). Таким образом,.

в) Подынтегральная функция имеет три особых

Рис.8.2

точки ,,. Нолежит вне квадрата (рис.8.2). Вычеты функции относительно ее простых полюсовиопределяем по формуле (8.4), положив,. Тогда в силу (8.8) получаем

.

г) Функция аналитична в кругевсюду, кроме точки. Для определения типа особенности и вычета необходимо разложить функцию в ряд Лорана в кольце. Предварительно найдем

.

Легко видеть, что разложение функции содержит бесконечно много членов с отрицательными степенями; значитсущественно особая точка. Так как вычет равен коэффициенту при, то получаем. Следовательно,

.

д) Подынтегральная функция имеет 3 особых точки: полюс 6-го порядка,простые полюсы, и все они принадлежат кругу. Можно применить основную теорему о вычетах, но удобнее вычислять, пользуясь вычетом относительно бесконечно удаленной точки:

.

Разложение подынтегральной функции в ряд Лорана в окрестности точки можно получить, деля числитель на знаменатель по правилу деления многочленов. Здесь, значит,, следовательно,.