Упражнения

55. Показать, что функция дифференцируема и аналитична во всей комплексной плоскости. Вычислить ее производную.

Решение. Найдем и. По определению имеем. Следовательно,.

,,

Откуда ,.

Как видно, частные производные непрерывны на всей плоскости, и функции идифференцируемы в каждой точке плоскости. Условиявыполняются. Следовательно,дифференцируема в каждой точке плоскости, а значит, и аналитична на всей плоскости. Поэтому производную можно найти по одной из формул (4.3):

.

Наконец, производная может быть найдена по правилам формального дифференцирования: .

56. Выяснить, является ли аналитической функция:

а) ; б)?

Решение. а) Так как , то, откуда. Как видно, первое условие(4.2) не выполняется ни при какихи. Следовательно, функция не дифференцируема ни в одной точке плоскости, а поэтому и не аналитична.

б) Имеем . Функцияидифференцируемы в каждой точке плоскости, ибо их частные производные непрерывны во всей плоскости. Но условияне выполняются ни в какой точке плоскости, кроме точки, где все частные производные равны нулю. Следовательно, функциядифференцируема только в одной точке, но не является аналитической в ней, так как по определению требуется дифференцируемость в окрестности данной точки.

Таким образом, функция не является аналитической ни при каком значении. Из приведенного примера ясно, что аналитичность функции в точке более сильное требование, чем дифференцируемость ее в этой точке.

57. Существует ли аналитическая функция, для которой ?

Решение. Проверим, является ли функция гармонической. С этой целью находим

,

и . Из последнего соотношения следует, чтоне может быть действительной, а также и мнимой частью аналитической функции.

58. Найти, если это возможно, аналитическую функцию по ее действительной части .

Решение. Прежде проверим, является ли функция гармонической. Находим,,,и. Гармоническая на всей плоскости функциясопряжена сусловиями Коши-Римана,. Из этих условий получаем,. Из первого уравнения системы находиминтегрированием по, считаяпостоянным.

,

где произвольная функция, подлежащая определению. Найдем отсюдаи приравняем к выражению, ранее найденному:. Получим дифференциальное уравнение для определения функции, откуда

. Итак, . Тогда

.

59. Восстановить аналитическую функцию по известной ее мнимой частии при дополнительном условии.

Решение. Опуская проверку данной функции на гармоничность, находим ,. Следовательно,.

Дифференцируя по, получим. Но с другой стороны, по второму из условий (C. - R.) . Сопоставляя последние два равенства, получим дифференциальное уравнение относительно функции, откуда следует, чтои.

Итак, , следовательно,

или .

Как видно из приведенных примеров аналитическая функция определяется по своей действительной или мнимой части с точностью до произвольной постоянной. Задание дополнительного условия – значения функции в точке позволяет определить аналитическую функцию единственным образом.

По условию , воспользуемся этим для определения, откудаи.

60. Найти коэффициент подобия и угол поворотав точкепри отображении:

а) ,; б),.

Решение. а) Найдем и ее частное значение в точке. Значит, коэффициент подобия, т.е. отображение производится сжатие в точке, а, т.е. в данной точке происходит вращение на уголпо часовой стрелке.

б) , откуда следует, что коэффициент растяжения, а угол поворота.

61. Каково отображение, осуществляемое функцией ?

Решение. . Функция аналитична во всей плоскости, но в точке. Поэтому отображение, осуществляемое этой функцией, конформно во всех точках, за исключением точки. Так как, то лучии, выходящие из точкии образующие между собой угол, отображаются соответственно в лучии, образующие между собой угол. Поэтому в точкеконформность отображения нарушается в силу того, что нарушается свойство консерватизма углов: углы не сохраняются, а утраиваются.