1. Человек во Вселенной. Характерные масштабы расстояний, интервалов времени и энергий в природных процессах. Инструменты исследования.

Масштабы расстояний в мире.

1.1. Каков был диапазон постигаемого человеком мира во времена Древней Греции (время зарождения наук) и каков этот диапазон сегодня?

1.2. Каким способом Эратосфен Киренский (220 г. до н.э.) измерил диаметр Земли?

1.3. Объясните принцип триангуляционного метода измерения расстояний (Снеллиус, 1616) и его применение для измерения расстояний в солнечной систем и до ближайших звезд.

1.4. Что такое парсек (параллакс-секунда)? Какова его величина?

1.5. Сколько времени свет идет к нам от границ видимого мира?

1.6. По какому закону убывает освещенность, создаваемая малым («точечным») источником света, при удалении источника от предмета?

1.7. Что измеряют в стерео-радианах?

1.8. Как измеряют расстояния до других галактик (когда становятся непригодны триангуляционные методы)?

1.9. Каков порядок увеличения лупы и оптического (обычного) микроскопа? Кто и когда изобрел микроскоп?

1.10. Каков интервал длин волн видимого света? На чем основаны способы измерения длин волн?

1.11. Каков способ измерения молекулярных размеров, использованный Бенджамином Франклином? Что он получил?

1.12. Кем, когда и какими опытами определен размер ядер атомов?

Масштабы временных интервалов. Периодические процессы.

Определение: 1 с = 9192631770 периодов излучения, соответствующего переходу между двумя сверхтонкими уровнями основного состояния атома цезия-133. Примерная длительность процессов: ядерные - 10^-23 с, сутки - 8,64·10⁴ с, год - 3·10⁷ с, жизнь человека- 10⁹ с, история человечества - 10¹⁴ с, жизнь на Земле – 10¹⁶ с, существование солнечной системы – 10¹⁷ с, существование Вселенной - 10¹⁸ с.

1.13. Какими способами измеряли время в Древней Греции? В чем неудобство этих способов?

1.14. Какая мировая константа связана со временем?

Как отсюда получить характерное время ядерных взаимодействий?

1.15. Что необходимо для измерения времени?

1.16. Кто изобрел первый хронометр и в чем сущность его конструкции?

1.17. Как изменялась погрешность измерения секундного интервала в веках?

1.18. Как измеряют большие интервалы времени (более 1000 лет)?

Масштабы энергий природных процессов

Энергия солнечного потока на Землю - 1,7·10¹⁷ Вт, мировой расход энергии -6·10¹² Вт, Саяно-Шушенская ГЭС - 6,4·10⁹ Вт, энергия атомной бомбы - 10¹⁴ Дж, энергия взрыва любой сверхновой звезды - 10⁴⁶ Дж. Эквивалентность массы и энергии : Е = m·с² .

1.19. Что такое «лошадиная сила»?

1.20. Единица измерения энергии в молекулярной физике?

1.21. Единица измерения энергии в атомной физике?

1.22. На сколько градусов надо поднять температуру плазмы, чтобы средняя энергия одной частицы увеличилась на 1 эВ?

1.23. Какой длине волны соответствует энергия кванта света 2 эВ?

1.24. Какая энергия соответствует рождению пары электрон-позитрон, если известно, что массы частиц равны 0,91·10¹¹ кг?

2. Связь науки с философией. Роль математики. Проблемы бесконечностей. Понятие предела. Производная и дифференциал. Разложение функций в ряды.

Иррациональные и трансцендентные числа как предельные суммы последовательностей

2.1. К чему ведет последовательность чисел n натурального ряда, где n = 1,2,3..?

2.2. К какому числу ведет последовательность чисел 1/n, то есть чисел, обратных числам натурального ряда? А что является пределом выражения (l+1/n)?

2.3. Получите рекуррентную формулу для вычисления иррационального числа 2^-1/2.

2.4. Что является пределом выражения (l+1/n)·n при неограниченном возрастании n?

2.5. Вспомните выражение для суммы членов геометрической прогрессии и вычислите предел, к которому стремится эта сумма при неограниченном возрастании числа слагаемых при показателе прогрессии q, равном 1/2 и произвольном первом члене прогрессии а_о. К какой из апорий Зенона имеет отношение это выражение?

2.6. Сообразите, к какому числу идет в пределе сумма членов следующего бесконечного ряда: S_n = 1 + +1/1! + 1/2!+ +1/3! + ...+ 1/п! + ...?

2.7. Какую из многих последовательностей для вычисления числа  (пи) Вы знаете?

Производная и дифференциал

2.8. Каков смысл производной и дифференциала?

2.9. Что собой представляют производные от функций xⁿ, Sin x, Cos x, a^x?

2.10. Чем замечательна производная от функции е^х?

2.11. Какие природные процессы отображает функция e^-bt, у которой b – некоторая постоянная, a t - время?

2.12. Как связаны между собой постоянная радиоактивного распада b и время полураспада t^1/2 радиоактивного вещества?

Разложение функций в ряды

2.13. Что такое разложение функции в ряд Тейлора?

2.14. Разложите в ряд Тейлора функцию е^х.

2.15. Покажите, что е^ix = Cos x + i·Sin x (где i² = -1), используя разложение функций в ряд Тейлора.

2.16. Используя разложение е^х в ряд Тейлора, получите выражение е = lim(l+l/n)ⁿ при n стремящемся к бесконечности.