Глава 9. Работа сил

9.1. Работа постоянной по модулю и направлению силы

Работа постоянной по модулю и направлению силы на прямоли­нейном перемещении определяется скалярным произведением вектора силы на вектор перемещения точки ее приложения (рис. 3.52).

Рис. 3.52

Из векторной алгебры известно, что скалярное произведение двух векторов

,

откуда .

9.2. Элементарная работа силы и методы ее определения

Элементарная работа силы на участке ММ' (рис. 3.53) определяется по формуле

,

где Р — модуль силы, соответствующей точке М; dσ — длина пути ММ', т. е. пройденный точкой элементарный путь; - угол, сос­тавленный направлением силы и скоростью в точке М.

Рис. 3.53

Элементарную работу обозначают δА, а не dA, так как в общем случае она не является дифференциалом функции. Знак работы в выражении определяется только знаком косинуса угла. Будем определять положение точки М на траектории дуговой координатой s = ОМ (рис. 3.54,а,б), а орт τ, направленный по касательной к траектории, направим в сторону возрастания дуговой ко­ординаты.

При движении точки в любом направлении по траектории элементарная работа силы равна

, (3.23)

где Р- модуль силы, соответствующей точке М; ds - приращение дуговой координаты точки (алгебраическая величина).

а) б)

Рис. 3.54

Разложим силу на составляющие, направленные по касательной и главной нормали к траектории в точке М. Проекции силы на касательную и главную нормаль определяются так:

. (3.24)

Пользуясь первой формулой (3.24), выражению (3.23) можно придать вид

. (3.25)

Формула (3.25) показывает, что работу на перемещение ds совершает только касательная составляющая силы , работа же нормальной составляющей , перпендикулярной направлению скорости точки, равна нулю

. (3.26)

где - вектор элементарного перемещения точки М.

Обозначив проекции силы на координатные оси X, У, Z, a проекции вектора элементарного перемещения на оси dx, dy, dz, получим скалярное произведение векторов и (рис. 3.55) в виде

Эта формула дает выражение элементарной работы через проекции силы на оси координат. Работа силы P на конечном перемещении равна

сумме ее работ на элементарных участках

.

Рис. 3.55

Пользуясь выражениями элементарной работы и переходя к пределу при стремлении числа участков к бесконечности, получим выражения работы силы P на конеч­ном перемещении М₁М₂:

; ;

; ;

Работа равнодействующей силы на некотором перемещении равна алгебраической сумме работ составляющих сил на том же перемещении (рис. 3.56)

,

где - работы составляющих сил на перемещении.

Рис. 3.56 Рис. 3.57

Работа постоянной по модулю и направлению силы на результирующем перемещении равна алгебраической сумме работ этой силы на составляющих перемещениях (рис. 3.57)

,

где - работы силы на составляющих перемещениях.

За единицу работы в системе СИ принимается джоуль (Дж).