.

Проекции импульса силы на оси координат:

Здесь проекции переменной силы на оси координат. Модуль и направление импульса силы определяются по его проекциям:

;

.

5.2. Количество движения материальной точки и механической системы

Количество движения материальной точки – векторная мера ее движения, равная произведению массы точки на ее вектор скорости:

.

Количество движения механической системы или главный вектор количества движения – геометрическая сумма количеств движений всех материальных точек системы

.

Главный вектор количества движения системы можно определить по формуле

,

где - скорость центра масс системы.

Модуль главного вектора количества движения системы определяется через его проекции на оси декартовых координат:

,

где - проекции количества движения i- го тела системы на оси декартовых координат. Тогда

.

5.3. Теорема об изменении количества движения материальной точки

а) Дифференциальная форма: производная по времени от количества движения материальной точки геометрически равна равнодействующей сил, приложенных к этой точке.

.

б) Интегральная (конечная) форма: изменение количества движения материальной точки за некоторый промежуток времени равно геометрической сумме импульсов cил, приложенных к точке за тот же промежуток времени. Эту теорему называют также теоремой импульсов,

.

Векторному уравнению соответствуют три уравнения в проек­циях на оси координат:

Уравнения показывают, что изменение проекции количества движения

материальной точки на данную ось за некоторый проме­жуток времени равно сумме проекций на ту же ось импульсов приложенных к точке сил за тот же промежуток времени.

  Задача 3.10. Груз спускается вниз по шероховатой наклонной поверхности, расположенной под углом  a  к горизонту; f - коэффициент трения скольжения груза о наклонную плоскость. В начальный момент времени скорость груза равнялась v. Через какой промежуток времени скорость груза удвоится (рис. 3.35)?

Рис. 3.35

Решение. Изобразим силы, приложенные к грузу: - вес груза, - нормальная сила реакции плоскости, - сила трения скольжения груза о плоскость, причем .

Направляем ось х вдоль наклонной плоскости вниз. Запишем теорему об изменении количества движения материальной точки в проекции на ось х:

.

Согласно условию задачи, , . Так как все силы, приложенные к грузу, постоянны, то

 

,

 

где τ - искомый промежуток времени. Следовательно,

,

откуда

5.4. Теорема об изменении количества движения механической системы

a) Дифференциальная форма: производная по времени от количества движения механической системы геометри­чески равна главному вектору внешних cuл, действующих на эту систему.

.

Векторному уравнению соответствуют три уравнения в проек­циях на оси координат: производная по времени от проек­ции количества движения механической системы на любую ось равна проекции главного вектора внешних cuл, действующих на систему, на ту же ось.

.

б) Интегральная форма: изменение количества движения механической системы за неко­торый промежуток времени равно геометрической сумме импульсов внешних сил, приложенных к системе, за тот же промежуток времени.

.

Векторному уравнению соответствуют три уравнения в проек­циях на оси координат: изменение проекции количества движения механической системы на любую ось равно сумме проекций импульсов всех внешних сил, действующих на систему, на ту же ось

С л е д с т в и е 1. Если векторная сумма всех внешних сил, приложенных к системе, равна нулю, то вектор количества движения системы не изменяется ни по модулю, ни по направлению.

С л е д с т в и е 2. Если сумма проекций всех внешних сил, приложенных к системе, на какую-нибудь ось равна нулю, то проекция вектора количества движения системы на ту же ось есть величина постоянная.

Следствия 1 и 2 называют законом сохранения количества движения системы, который формулируется так: внутренние силы не могут изменить

количество движения механической системы.

Задача 3.11. Материальная система состоит из груза А весом , лежащего на наклонной плоскости клина В весом , расположенной под углом к горизонту. В начальный момент система находилась в покое; затем груз А начал скользить по наклонной плоскости с от­носительной скоростью . Определить скорость движения клина В. Силой трения скольжения клина о горизонтальную плоскость пренебречь (рис. 3.36, а).

Рис. 3.36

Решение. В состав рассматриваемой материальной системы входят два тела: груз А и клин В. Изобразим все внешние силы системы: — вес груза, — вес клина, — нормальная сила реакции горизонтальной плоскости (было бы ошибочным изображение нормальной силы реакции наклонной плоскости, приложенной к грузу, так как эта сила по отношению к системе, состоящей из груза и клина, является внутренней).

Направим ось х по горизонтали направо.

Запишем теорему об изменении главного вектора количеств дви­жения системы материальных точек в проекции на ось х:

.

Так как сумма проекций всех внешних сил на ось х равна нулю: , то и сумма проекций импульсов всех внешних сил на эту ось тоже равна нулю:

.

Тогда

,

т. е. .

Следовательно, имеет место случай сохранения проекции на ось х главного вектора количеств движения системы.

В начальный момент система находилась в покое, т. е. .

Вычислим проекцию на ось х главного вектора количеств дви­жения системы в рассматриваемый момент времени. Допустим, что клин В движется направо с искомой скоростью . Для нахождения скорости груза А надо применить теорему о сложении скоростей точки . Груз А совершает переносное поступательное движение вместе с клином В, т. е. , и относительное движе­ние по отношению к клину В, т. е. .

Следовательно, . ( рис. 3.36, б) и

.

Теперь можно вычислить проекцию главного вектора количеств дви­жения системы на ось х:

.

Как было показано, , т. е.

,

откуда

.

Знак минус указывает, что в действительности клин В движется на­лево, т. е. вектор направлен в противоположную сторону.

Задача 3.12. Колесо весом G и радиусом R (рис. 3.37) катится без скольжения по рельсу, делая n об/мин. Определить количество движения колеса.

Рис. 3.37

Решение. Количество движения колеса

.

Скорость v_C центра масс колеса определяется как вращательная скорость вокруг мгновенного центра скоростей, находящегося в точке Р соприкасания колеса с рельсом:

.

Так как

, то .

Подставляем значения m и v_C в выражение, определяющее К,

.