Глава 11. Принцип Даламбера для материальной точки и механической системы

11.1. Принцип Даламбера для материальной точки

Принципом Даламбера называется общий метод, при помощи которого уравнениям динамики придается вид уравнений статического равновесия. Если к несвободной материальной точке, движущейся под действием активных сил и сил реакций связей, приложить ее силу инерции, то в любой момент времени полученная система сил будет уравновешенной, т.е. геометрическая сумма указанных сил равна нулю (рис. 3.71).

Рис. 3.71

,

где - сила инерции точки

,

а в проекциях на оси декартовых координат

,

при криволинейном движении

, ,

где - модули касательного и нормального ускорений; - радиус кривизны траектории (рис. 3.72,а).

а) б)

Рис. 3.72

При вращении тела вокруг неподвижной оси (рис. 3.72,б) силы инерции точки раскладываются на вращательную и центростремительную .

,

,

где - вращательное и центростремительное ускорения точки.

11.2. Принцип Даламбера для механической системы

Принцип Даламбера для системы: если в каждый момент времени ко всем точкам системы кроме фактически действующих внешних и внутренних сил приложить соответствующие силы инерции, то полученная система сил будет уравновешенной и к ней можно применять все уравнения статики.

Гео­метрическая сумма главных векторов задаваемых сил, реакции связей и сил инерции для каждой материальной точки, а также геометрическая сумма главных моментов этих сил относительно некоторого центра несвободной механической системы в любой момент времени равны нулю.

.

11.3. Приведение сил инерции точек твердого тела к простейшему виду

Поступательное движение. При поступательном движении силы инерции точек твердого тела приводятся к равнодействующей силе, приложенной в центре масс тела, равной по модулю произведению массы тела на модуль ускорения его центра масс и направленной противоположно этому ускорению

.

Вращение твердого тела, имеющего плоскость симметрии, вокруг неподвижной оси, перпендикулярной этой плоскости. При вращении твердого тела, имеющего плоскость материальной симметрии, вокруг оси, перпендикулярной этой плоскости, силы инерции точек тела приводятся к равнодействующей силе, лежа­щей в плоскости симметрии. Модуль и направление этой силы опре­деляются формулой

,

а расстояние от ее линии действия до точки пересечения оси вращения с плоскостью симметрии — формулой

.

где .

Вращение твердого тела, имеющего плоскость симметрии, вокруг центральной оси, перпендикулярной этой плоскости. Если твердое тело вращается вокруг неподвижной оси, которая является его главной центральной осью инерции, то силы инерции точек тела приводятся к паре сил, лежащей в плоскости материальной симметрии тела, момент которой определяется по фор­муле

,

где — момент инерции тела относительно оси вращения.

Плоское движение твердого тела, имеющего плоскость симметрии. Если твердое тело, имеющее плоскость материаль­ной симметрии, движется параллельно этой плоскости, то силы инер­ции точек тела приводятся к силе, приложенной в центре масс и рав­ной главному вектору сил инерции, и к паре сил, лежащей в плоскости симметрии, числовое значение момента которой определяется формулой

,

где - момент инерции тела относительно главной центральной оси инерции Сζ.

В более сложных случаях движения тела главный вектор и главный момент сил инерции относительно центра приведения находят анали­тическим путем, т. е. по их проекциям на три координатные оси.