- •5.2. Количество движения материальной точки и механической системы
- •5.3. Теорема об изменении количества движения материальной точки
- •5.4. Теорема об изменении количества движения механической системы
- •Глава 6. Теоремы об изменении момента
- •6.2. Теорема об изменении момента количества движения материальной точки относительно центра и оси
- •6.3. Кинетический момент механической системы относительно центра и оси
- •6.4. Теорема об изменении кинетического момента механической системы относительно центра и оси
- •Глава 7. Динамика твердого тела
- •7.1. Поступательное движение твердого тела
- •7.2. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси
- •7.3. Плоское движение твердого тела
- •Формулу (г) можно представить в виде
- •Глава 8. Динамика сферического и свободного движений твердого тела
- •8.1. Кинетические моменты твердого тела относительно
- •Неподвижной точки и координатных осей
- •8.2. Дифференциальные уравнения сферического движения твердого тела
- •В этом случае уравнения (3.21) принимают вид:
- •8.3. Дифференциальные уравнения движения свободного твердого тела
- •8.4. Элементарная теория гироскопа
- •Глава 9. Работа сил
- •9.1. Работа постоянной по модулю и направлению силы
- •9.2. Элементарная работа силы и методы ее определения
- •9.3. Работа силы тяжести и силы упругости
- •9.4. Работа сил, приложенных к твердому телу
- •Работа на конечном перемещении
- •Глава 10. Теоремы об изменении кинетической энергии
- •10.1. Кинетическая энергия твердого тела при различных
- •Движениях
- •10.2. Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки
- •10.3. Кинетическая энергия механической системы
- •10.4. Теорема об изменении кинетической энергии механической системы
- •10.5. Потенциальное силовое поле и потенциальная энергия
- •Глава 11. Принцип Даламбера для материальной точки и механической системы
- •11.1. Принцип Даламбера для материальной точки
- •11.2. Принцип Даламбера для механической системы
- •11.3. Приведение сил инерции точек твердого тела к простейшему виду
- •11.4. Определение динамических реакций подшипников при вращении твердого тела вокруг неподвижной оси
- •Глава 12. Принцип возможных перемещений
- •12.1. Принцип возможных перемещений
- •12.2. Общее уравнение динамики
- •Задача 4. Применение общего уравнения динамики к изучению механической системы
- •Глава 13. Дифференциальное уравнение движения механической системы в обобщенных координатах
- •13.1. Обобщенная сила
- •13.2. Уравнения Лагранжа второго рода
Задача 4. Применение общего уравнения динамики к изучению механической системы
Для заданной механической системы определить ускорение груза 1 и натяжение в ветви нити 1, к которой прикреплен груз. Массами нитей пренебречь. Система движется из состояния покоя. Считать, что , , , , см, , f= 0,1 (рис. 1).
Рис 1
Решение.
1. Составление расчетной схемы. На механическую систему действуют активные силы , , . Применяя принцип освобождаемости от связей к внешним связям, покажем , , N. Силу трения изобразим в сторону, противоположную предполагаемую направлению движения.
Рис. 2
Так как система пришла в движение из состояния покоя, то ускорения точек системы 1 направлены в сторону движения.
Приложим силы инерции. Тела 1 и 3 движутся поступательно, силы инерции этих тел выражаются векторами
и показываются на расчетной схеме противоположно ускорениям.
Силы инерции блока 2, вращающегося вокруг неподвижной оси Oz с угловым ускорением , приводятся к паре, момент которой равен
и изображается на схеме в сторону противоположную .
2. Выбор теоремы.
Применим общее уравнение динамики
.
Произведение силы, перемещения точки приложения силы и косинуса угла, который образуют сила и направление движения, представляет собой работу силы на данном перемещении.
Работа силы на заданном перемещении равна нулю, если точка приложения силы неподвижна или сила перпендикулярна направлению движения.
3. Составление уравнения.
, (1)
где - возможное перемещение тела 1, - угол поворота блока 2, -возможное перемещение центра масс тела 3 по направлению скорости, -высота, на которую поднимется центр масс тела 3 при перемещении на .
Уравнения связей. В общее уравнение динамики входят неизвестные перемещения. Выразим скорости центров масс и угловую скорость тел системы через скорость тела 1. Зависимости между возможными перемещениями такие же, как и между соответствующими скоростями.
Скорость любой точки обода блока малого радиуса равна скорости тела 1, а также произведению угловой скорости тела 2 и радиуса вращения .
,
отсюда
. (2)
Вращательная скорость любой точки обода блока большого радиуса с одной стороны, равна произведению угловой скорости блока и радиуса вращения R, а с другой - скорости тела 3.
.
Подставляя значение угловой скорости, получим
. (3)
Проинтегрируем при нулевых начальных условиях равенство (2) и (3) и получим соотношения возможных перемещений точек системы
.
Подставим полученные возможные перемещения в (1) и произведем замену
.
Поделив обе части равенства на запишем
Модули силы инерции: тела 1 ; тела 2 .
Момент пары сил инерции
.
Связь между ускорениями точек системы получим, продифференцировав по времени уравнения (2) и (3)
.
Тогда силы инерции точек системы запишутся
; .
Момент инерции блока
.
Тогда
.
Сила трения скольжения
.
В выражение (4) подставим значения сил инерции, силы трения и учитывая, что , запишем
.
4. Определение неизвестных.
.
Откуда
.
Окончательно
Для определения натяжения в ветви 1 - 2 мысленно разрежем нить и заменим ее действие на груз 1 реакцией .
Общее уравнение динамики
.
Откуда
.