Формулу (г) можно представить в виде

.

Дифференцируя это выражение по t, по­лучаем необходимое для решения задачи четвертое уравнение:

. (д)

Из уравнения (д) имеем

.

Момент инерции цилиндра относительно оси Сζ,

.

Подставим эти значения в уравнение (в)

или .

Решив это уравнение совместно с уравнением (а), найдем и :

,

откуда

.

Полученный результат показывает, что центр масс цилиндра движется равноускоренно с ускорением , не зависящим от веса цилиндра.

Для определения угла наклона плоскости, при котором начинается сколь­жение цилиндра, воспользуемся известным положением из статики:

.

Подставим значения F_сц и N

откуда .

Таким образом, скольжение начнется при .

Глава 8. Динамика сферического и свободного движений твердого тела

8.1. Кинетические моменты твердого тела относительно

Неподвижной точки и координатных осей

Кинетический момент твердого тела, совершающего сферическое движение относительно неподвижной точки (рис. 3.46), определяется по общей формуле:

Рис. 3.46

.

Кинетический момент тела относительно оси х, проходящей через точку О, как проекция на ось х имеет вид

,

где - момент инерции тела относительно оси х; - центробежный момент инерции тела относительно осей х и у; - центробежный момент инерции тела относительно осей z и х.

Подставляя эти значения в выражение, определяющее L_x, получаем формулы для вычисления кинетических моментов тела, совершающего сферическое движение относительно оси х и, по аналогии, относительно осей у и z:

(3.20)

Если за оси координат приняты главные оси инерции в неподвижной точке О, то центробежные моменты инерции тела относительно этих осей равны нулю, т. е.

тогда формулы (3.20) принимают вид

.

8.2. Дифференциальные уравнения сферического движения твердого тела

При сферическом движении твердого тела его кинетический момент относительно неподвижной точки О изменяется согласно уравнению (рис. 3.47)

.

Рис. 3.47

После соответствующих преобразований получим три равенства в про­екциях на подвижные оси ξ,η,ζ:

Если за подвижные координатные оси приняты главные оси инер­ции тела в точке О, то кинетические моменты тела относительно этих осей определяются по формулам:

(3.21)

В этом случае уравнения (3.21) принимают вид:

(3.22)

где — моменты инерции тела относительно его осей инерции в точке О; — главные моменты внешних сил, приложенные к телу, относительно этих осей; — проекции вектора угловой скорости тела и на оси . Эти проекции можно определить по формулам Эйлера:

где - углы Эйлера, определяющие положение тела при сферическом движении.

Дифференциальные уравнения (3.22) сферического движения твердого тела называются динамическими уравнениями Эйлера.