30. Теорема про взаємність переміщень
Нехай
у першому стані до системи прикладена
сила
,
у
другому —
(рис.11.5). Позначимо переміщення, викликані
одиничними силами (або одиничними
моментами
)
символом
.
Тоді переміщення розглянутої системи
по напрямку одиничної сили
в першому стані (тобто викликане силоміць
)
—
,
а переміщення по напрямку сили
в
другому стані —
.
На
підставі теореми про взаємність робіт
,
але
,
тому
,
або в загальному випадку дії будь-яких
одиничних сил:
|
(11.16) |
.
Рис.11.5. До теореми про взаємність переміщень
Отримана рівність (11.16) зветься теоремою про взаємність переміщень (або теоремою Максвела): для двох одиничних станів пружної системи переміщення по напрямку першої одиничної сили, викликана другою одиничною силою, дорівнює переміщенню по напрямку другої сили, викликаному першою силою.
31. Теорема про взаємність реакцій
Якщо є 2 зрівноважені стани зумовлені змушеним переміщенням опор, то реакція опори першого стану для опори, що зміщується в другому стані, дорівнює реакції другого стану в напрямі зміщуваної опори першого стану.
Матриця жорсткості в даному випадку є симетричною.
;
=>
32. Теорема про взаємність переміщень і реакцій.
У
стані i
до
балки прикладена одинична зосереджена
сила
=1,
а в стані j
примусово переміщується опора j.
На
підставі теореми Бетті можна записати:
.
Однак
робота
,
оскільки силами у стані j
є опорні реакції , а опори стану i
не
переміщуються. Отже робота стану i
на
переміщення стану j
також = 0:
Звідки
Реакція в’язі j, що зумовлена дією на пружну систему сили =1, дорівнює за величиною і протилежна за знаком переміщенню в напрямі сили =1 від одиничного переміщення в’язі j.
33.Матриця податливості і матриця жорсткості
Розглянемо
яку небуть стержневу систему
,наприклад балку під дією кількох
узагальнених сил
…
.
На підставі принципу незалежності дії сил будь який прогин можна подати як суму прогинів від кожної системи окремо:
Зручно
виразити прогин через прогин ,зумовлені
під дією одиничних сил:
,де
-
переміщення від сили Р=1.Можна записати
в матричній формі
,де
В- квадратна матриця одиничних
переміщень,тобто переміщень зумовлені
одиничними силами---це і є матриця
податливості:
Із матричної рівності можна мати величини сил ,які відповідають одиничним узагальненим переміщенням:
у
цьому виразі
---матриця
жорсткості:
Елементи матриці жорсткості можна трактувати як опорні реакції в’язей що накладені на систему в напрямі можливих переміщень. Тому матрицю жорсткості інколи називають матрицею реакції
34) Oснови розрахунку на рухоме намантаження
Рухомими називають навантаження, які переміщуються по конструкції. До таких
Навантажень відносять автомашини, потяги, трактори, які переміщуються по
мостовим переходам, кранові навантаження на підкранові балки, навантаження від
підвісних кранів, які рухаються по фермам покриття, тощо. Від дії таких навантажень
усі параметри, що визначають напружено– деформований стан споруди (опорні
реакції, згинальні моменти, поперечні та поздовжні сили,
напруження, переміщення тощо), змінюються і залежать від місцерозташування
навантаження в кожний поточний момент часу. Задача розрахунку на рухоме
навантаження полягає у визначенні найбільших за величиною зазначених
параметрів, які можуть виникнути в елементах споруди під час його руху.
Одним із найбільш поширених методів розрахунку на рухоме навантаження є метод
ліній впливу, який дозволяє аналізувати зусилля і переміщення в будь-яких перерізах
будь-яких споруд.
Метод полягає в побудові, так званих, ліній впливу – графіків, які показують, як
змінюється той чи інший фактор, коли по споруді переміщується вертикальна
одинична сила. За допомогою цих графіків можна визначати величини згаданих
факторів від будь-яких зовнішніх силових навантажень, як рухомих, так і нерухомих