28.Переміщення від дії температури

Як відомо з фізики, тіла при нагріванні розширюються, а при охолодженні скорочуються.Тому дія на споруду температури спричиняє деформування конструкцій. При цьому в статично визначуваних системах ані внутрішніх зусиль, ані опорних реакцій не виникає. А відтак формулаМора у вигляді (3.23) непридатна для обчислення температурних переміщень і виникає потребамати ще один варіант формули, призначений власне для розрахунків на дію температури.

З апишемо інтеграл Мора у вигляді, який є аналогічним (3.20):

Виразимо деформації нескінченно малого елемента (рис.3.12) від дії температури.Припустимо для означеності, що t1>t2 > 0. Тоді видовження верхнього волокна становитимеt1dx, а нижнього t2dx, де коефіцієнт лінійного розширенняматеріалу (для сталі і длябетону 1,210-5 град-1).

В ідносне видовження осі елемента стержня

к ривизна

кут зсуву t=0.

Таким чином,

О скільки в рамах згинальні моменти не мають знаків, у другому доданку різниця температур береться за модулем, і добуток береться зі знаком плюс, якщо розтягнені волокна на стержні в допоміжному стані збігаються з розтягненими волокнами від дії температури. Якщо постійні величини винести за знак інтеграла,

о держимо:

ПозначимодеAMi, ANiвідповідно площі епюри Miі епюри Niна стержні в допоміжному стані.

З урахуванням позначень (3.32) остаточно маємо:

29.Теорема про взаємність робіт (теорема Бетті)

Р озглянемо лінійно-деформівну систему, наприклад балку, під дією двох статично прикладених узагальнених сил (рис.3.16).

Повні прогини балки під силами від одночасної дії обох сил на підставі принципу суперпозиції можна представити як суми прогинів від дії кожної сили окремо:

К інцева деформація (рис.3.16,а) не залежить від черговості прикладання сил, отже, розглянемо два способи завантаження: 1. Спочатку до балки статично прикладається сила (рис.3.16,б), яка викликає прогини 1 і виконує дійсну роботу

а потім до деформованої схеми прикладається сила . Зрештою балка одержує додаткові прогини 2, і дійсну роботу при цьому виконує сила

Н а значення цих додаткових прогинів сила не впливає, оскільки її величина залишається незмінною. Тому робота її є можливою: Повна робота, яку здійснюють обидві сили

2 . Спочатку до балки прикладається сила (рис3.16,в),. Вона викликає прогини 2 і здійснює дійсну роботу . Після цього до деформованої схеми статично прикладається сила . Балка одержує додаткові прогини 1. Робота , яку виконує ця сила, також буде дійсною. При цьому величина сили залишається незмінною, а відтак на величини цих додаткових прогинів не впливає. Отже, її робота повинна розглядатися як можлива: Повна робота в цьому випадку матиме вигляд

Порівнюючи повну роботу в обох випадках доходимо висновку, що

Я кщо є два зрівноважених стани пружної системи, то робота сил першого стану на переміщеннях другого дорівнює роботі сил другого стану на переміщеннях першого: Положення, яке щойно було доведене, відоме під назвою теореми про взаємність робіт, або теоремиБетті.