§15 Кольцо многочленов от n переменных

По аналоги с тем как было построено кольцо многочленов от одной переменной можно построить от 2 3 любого числа переменных.

Пусть K областью целостности с единицей.

О1) Многочленом от нескольких переменных с коэффициентами из K назовем выражение вида:

Пример 1:

Многочлен от 3 переменных с коэффициентами из кольца Z:

Слагаемые называются одночленами а, элементы - коэффициенты многочлена .

О2) Многочлены и назовем равными если для любых значений совокупности индексов коэффициент при многочлена f равен коэффициенту из g и пишут

Определим сложение и умножение:

О3) Суммой многочленов от n переменных с коэффициентами из кольца K назовем многочлен вида:

О4) Произведением многочленов и от n переменных назовем многочлен вида:

где

Пример:

Операции над многочленами от n переменных обладают следующими свойствами:

1) коммутативность сложения – вытекает из определения сложения многочленов и коммутативности сложения в кольце K.

2) Ассоциативность сложения: свойство вытекает из определения сложения многочленов и из ассоциативности сложения в кольце K.

3) Существование нуля роль нейтрального элемента относительно сложения играет нулевой многочлен –коэффициенты которого есть нули.

4) Существование противоположного элемента многочленом противоположным многочлену f будет многочлен –f коэффициенты которого противоположны соответствующим коэффициентам из f.

5) Ассоциативность умножения свойство вытекает из определения операции умножения и ассоциативности умножения в кольце K.

6) Дистрибутивность умножения относительно сложения.

Множество многочленов от n переменных с коэффициентами из кольца K является кольцом обозначают .

Многочлены не содержащие переменных то есть состоящие из одного свободного члена отождествляют с элементами кольца K которое является под кольцом кольца многочленов.

7) Коммутативность умножения: коммутативность умножения в кольце многочленов следует из коммутативности умножения одночленов которое вытекает из коммутативности умножения в кольце K.

8) Существование единице роль единице кольца многочленов играет многочлен отождествляемый с еденицей кольца K.

В результате получаем коммутативное кольцо с единицей.

§16 Степень многочлена. Лексикографическое упорядочение членов многочлена.

Рассматривая многочлены от 1 переменной можно располагать их одночлены в порядке возрастания или убывания степеней x и такое представление единственно можно ли упорядочить члены многочлена от n переменных. Степенью одночлена назовем число равное

Степенью не нулевого многочлена называется наибольшая степень его одночленов

Многочлен называется однородным если все его члены имеют степень m

Сумма однородных многочленов одной степени будет однородным

Произведение однородных многочленов снова однородный многочлен.

Для упорядочения членов многочлена f используют лексикографическое упорядочение которым пользуются при составлении словарей: из двух слов в словаре раньше помещают то у которого первая буква раньше стоит в алфавите а, если первые буквы одинаковы то слово размещают по второй букве и так далее. Пусть даны два одночлена:

Говорят что, одночлен старше одночлена если:

либо и так далее и обозначают: - отношение лексикографического упорядочивания.

Пример 1:

отношение лексикографического упорядочивания обладает свойствами транзитивности, антисимметричности анти рефлективности - отношение строго порядка. Применив лексико графическое упорядочивание к членам от n переменных можно единственным образом расположить так, что бы лексико графически старшие члены предшествовали младших. Например лексикографически упорядоченным является

Свойства лексикографического упорядочения:

1) Если

То:

Доказательство:

то для

Тогда в произведениях:

то по определению лексикографического упорядочения получаем:

2) Если и то

Доказательство:

. По условию

Т1: Кольцо многочленов над областью целостности K само является областью целостности.

Доказательство:

Докажем что, в кольце отсутствуют делители нуля.

Пусть f ,g два многочлена из кольца и они не нулевые и их старшие члены u v произведение fg равно сумме всевозможных произведений членов f и g в эту сумму войдет произведение ставших членов причем это произведение будет не нулевым произведением, так как коэффициенте у u v из области целостности. Все другие произведения будут младше чем . \...\

И так мы получили среди произведений членов многочленов не будет одночленов подобных uw по этому произведение fg будет содержать лексикографически старший член uv ≠ 0 fg≠0  область целостности.

В процессе доказательства установили: лексикографически старший член произведения равен произведению их лексикографически старших ленов. Степень произведения одночленов равна сумме их степеней.