§3 Кольцо многочленов над областью целостности

О1)коммутативное, ассоциативное кольцо c единицей не содержащее делителей нуля называется областью целостности.

Установим ряд свойств умножения многочленов которые выполняются при условии, что кольцоK является областью целостности.

6)коммутативность умножения. Для доказательства умножения многочленов достаточно доказать коммутативность умножения одночлена. Согласно формуле умножения многочленов:

,

7)ассоциативность умножения

/…/

8)существование единицы, нейтральным элементом в кольце многочленов K[x] является единица кольца K. 1*f(x)=f(x)

9)отсутствие делителей нуля. Пусть f(x) g(x) 0, покажем что их произведение также не нулевой многочлен:

в полученном многочлене не все коэффициенты равны 0, так как эти коэффициенты выбраны из кольца K области целостности.

Замечание: Если кольцо многочленов рассматривается над областью целостности то ст(f(x)g(x))=ст(f(x))+ст(g(x))

Рассмотренные свойства означают что само кольцо многочленов K[x] является областью целостности.

Т1:кольцо многочленов над областью целостности само является областью целостности.

§4 Деление с остатком многочлена на двучлен (X- )

Пусть К область целостности с единицей, а K[x] кольцо целостности.

Т1: Для любого элемента К и для любого многочлена f(x) из кольца многочленов K[x] его можно представить в виде:

где g(x) многочлен кольца K[x] c-const, . При этом степень ст g(x)=ст f(x)-1.

Доказательство:

1)если f(x)=a =cost , ст f(x)=0 тогда выполнения требуемого равенства достаточно положить что, g(x)=0 и c=f( )=a.

2)пусть степень f(x) =n, n>0, пусть сам многочлен имеет вид:

Предположив что, равенство (1) выполняется, докажем, что существует многочлен :

Подставляя многочлены f(x) и g(x) в соотношение (1) получим:

В соответствии определения равенства 2 многочленов мы можем записать:

Из формул (2) следует, что коэффициенты g(x) однозначно определяются через коэффициенты f(x) то есть многочлен g(x) существует и единственен.

Подставив в равенство (1) получим .

О)Элемент называется корнем многочлена f(x) кольца K[x], если выполняется, .

Следствием теоремы является теорема Безу.

Т2(Теорема Безу):Чтобы многочлен f(x) кольца K[x] делился на необходимо и достаточно чтобы был корнем многочлена f(x): .

Доказательство:

Необходимость:

По Т1:

По условию:

то есть с=0, где

Достаточность:

Пусть корень f(x) то есть тогда на основании Т1 получим представление .

Отыскание многочлена g(x) называется делением с остатком на двучлен (x-x0), g(x)-не полным частным С-остаток.

Процесс деления f(x) на удобно осществлять по схеме называемой схема Горнера:

				…
				…
…

Пример 1:

разделить на(x-4)

	1	-3	6	-10	16
=4	1	1	10	30	136 0

не является корнем уравнения.