§ 19 Основная теорема о симметрических многочленах.

Т: Любой симметрический многочлен может быть представлен в виде многочлена от элементарных симметрических.

Доказательство:

Пусть f произвольный симметрический многочлен, если f =0 то F=0 если f≠0 то он содержит лексикографически старший член для которого выполняются условия лемм (1),(2). Составим разность если то если ≠0 то его лексикографически старший член такой, что . Для члена выполняются условия лемм (1),(2) а следовательно существует лексикографически старший член которого совпадает c .

Рассмотрим разность:

Если то

После конечного числа шагов построим многочлены старшие члены которых удовлетворяют условию .Описанный процесс конечен потому что на конечном шаге получится нулевой, из этого соотношения следует, что показатели степеней переменной в одночленах U образуют не возрастающую последовательность так как все они не отрицательны то найдется такой номер , что для всех показатель степени переменной в одночлене один и тоже и при лексикографическом сравнение показатель степени уже не будет играть роли и нужно сравнивать показатели переменной а показатели степеней в этих одночленах также образуют не возрастающю последовательность и начиная с некоторого номера для всеех показатели также будут равны между собой таким образом продолжая это рассуждение найдем такой номер для что для всех все соответствующее показатели одночленов равны и при этом условии лексикографически старший член выразится не может, а это значит . По построению многочленов мы будем иметь

.

Пример 2:

Представить симметрический многочлен в виде многочлена .

Лексикографически старший член многочлена f - составим всевозможные наборы показателей которые удовлетворяют следующим условиям

2)

3 0 0 2 1 0 1 1 1

			f				F
1	1	1	0	3	3	1	27+3*3 a +1b
1	1	0	2	2	1	0	8+2a+0b

Проверка:

Теорема единственности

Л: пусть

Если старшие члены U и V пропорциональны то соответствующие показатели степеней

.

Доказательство:

Пусть лексикографически старший член U имеет вид ,тогда по Л2 4 . Так как многочлен V ассоциирован с U то их старшие члены отличаются только числовыми коэффициентами …, (на основании Т2 ), из (1),(2) ⟹ …. .

■

Т(Единственность): Всякий симметрический многочлен единственным образом представляется в виде многочлена от элементарных симметрических многочленов.

Доказательство:

Пусть для многочлена существует 2 различных многочлена

f =F

f =G

F≠G

Рассмотрим многочлен H =F -G H ≠0

Пусть все члены многочлена H. Где -старшие члены соответственно, среди них ассоциированных не будет(на основании Л3). Выберем из лексикографически старший пусть например им будет . После приведения подобных членов в сумме если сохранится то эта сумма равна нулю быть не может, таким образом c одной стороны H равен 0 а, с другой стороны не равен, пришли к противоречию.

■