- •Л1 02.09.09 Алгебра многочленов
- •§1: Многочлены как функции действительной переменной
- •§2 Алгебраическое определение кольца многочленов
- •§3 Кольцо многочленов над областью целостности
- •§4 Деление с остатком многочлена на двучлен (X- )
- •§5 Наибольшее возможное число корней в области целостности.
- •§6 Деление с остатком
- •§ 7 Наибольший общий делитель многочленов. Алгоритм Евклида.
- •§ 8 Наименьшее общее кратное двух многочленов.
- •§9 Многочлены не приводимые над полем
- •§10 Разложение многочлена в произведении нормированных не приводимых множителей
- •§11 Формальная производная многочлена
- •§12 Не приводимые кратные множители многочлена.
- •§ 13 Кратные корни многочлена
- •§14 Разложение многочлена по степеням двучлена
- •§15 Кольцо многочленов от n переменных
- •§16 Степень многочлена. Лексикографическое упорядочение членов многочлена.
- •§17 Разложение многочлена от n переменных в произведение не приводимых множителей
- •§18 Cсимметрические многочлены
- •§ 19 Основная теорема о симметрических многочленах.
- •§20 (Дополнение к теме нод). Результант 2 многочленов
- •§21 Многочлены над полем комплексных чисел
- •§ 22 Зависимость между корнями. Теорема Виета.
- •§23 Свойства мнимых корней многочлена с действительными коэффициентами
- •§24 Разложение многочлена над полем действительных чисел в произведение не приводимых множителей
- •§25 Решение кубических уравнений
- •§27 Решение уравнений 4 степени(Феррари)
- •§28 Теорема Штурма(отделение действительных корней многочлена)
- •§29 Отыскание рациональных корней многочлена
- •30 Т(Критерий не приводимости Эйзенштейна):
- •31 Простое алгебраическое расширение как линейное пространство.
- •32 Избавление от иррациональности
§9 Многочлены не приводимые над полем
О1) Многочлен называется не приводимым над полем P если f(x) не является константой и f(x) не имеет делителей отличных от константы и от многочленов вида c*f(x) c 0. Другими словами f не приводим над P если : ст(f(x)≥1 и из равенства f(x)=p(x)q(x) следует что, ст(p(x))=0 или ст(q(x))=0. Понятие не приводимого многочлена является аналогом простого числа в кольце целых чисел.
О2)Многочлен f(x)∈ P называется приводимым или составным над полем P если и f(x)=p(x)q(x) причём
Понятия приводимости и неприводимости многочлена относительны так как зависят над каким поле рассматривается многочлен.
Т1: Многочлен 1 степени является не приводимым над любым полем P.
Доказательство(методом от противного):
Пусть f приводим на P тогда f (x)=p(x)q(x) где ст p(x)≥1, ст q(x)≥1
Ст f(x)=1, ст p(x)q(x)≥ст p(x)+ст q(x)≥1+1=2
Степень многочленов левой части равна 1 а, правой не меньше 2 а, по этому полученное равенство не возможно, на основании равенства многочленов а, следовательно наше равенство не верно.
Свойства не приводимых многочленов:
1) если p(x) не приводим то и c*p(x) тоже не привадим.
2) если многочлен p(x) не приводим а, многочлен f(x) произвольный то (f(x),p(x))=1 или f(x)⋮p(x)
Доказательство:
Так как p(x) не приводим то p(x)⋮c, c 0 или p(x)⋮p(x) по этому f(x) и p(x) в качестве общего делителя может иметь либо константу c либо многочлен p(x). Из этого следует что, (f,p)=1 следовательно f(x)⋮p(x).
3) если не приводимой многочлен над полем P делится на другой не приводимый многочлен q(x) то f(x)=C*q(x). (такие многочлены называют ассоциированными)
Доказательство:
По условию P(x)⋮q(x)p(x)=g(x)s(x), так как p(x) g(x) не приводимы то s имеет нулевую степеньs(x)=c 0.
§10 Разложение многочлена в произведении нормированных не приводимых множителей
Т1: Любой многочлен f(x) ∈P[x] степени не ниже первой представим в виде: - не разложимы, при чем такое представление единственно с точностью до постоянного множителя и порядка.
Доказательство:
Если многочлен f(x) не приводим на полем P то утверждение теоремы справедливо.
Пуст f(x) приводим над P и существует не приводимый не приводимый над P такой, что тогда . Если не приводим над P , то если приводим , то имеет делители тоесть найдестя что:
Тогда если не приводим то пологая получаем разложение f(x) на не приводимые множители в противном случае можно найти многочлен такой, что действуя так и далие после конечного числа шагов получим представление данного многочлена в виде:
не приводим над полем P переобозначив его как получим .
Докажем единственность пусть для f(x) получено другое представление.
из нашего предположения следует
из (1) следует, что правая часть равенства (1) должна делится на каждый из многочленов не приводимых над P не нарушая общности будем считать что, от сюда следует так как и не приводимы то по своству 3 неприводимых многочленов должны отличатся константой. учитывая это соотношения и подставив их в равенство (1) и сократив на то получим полученное равенство не возможно это значит, что предположение о существование другого разложения не верно.
Замечание: Представление многочлена f(x) в Т1называют каноническим разложением многочлена f(x) над полем P. В разложении представленном в Т1 не приводимые множители могут встретится какой-то число раз (могут повторится) тогда указанное представление можно записать более компактно в виде:
Пример 1:
В общем случае многочлены в каноническом разложении f(x) имеют старшие коэффициенты отличные от единицы. Каждый из них нормировать то есть представит нормированный тогда каноническое представление многочлена примет вид:
Пример 2:
Замечание: канонические разложение дает возможность найти быстро НОД и НОК:
Пусть
Пример 3: