§ 7 Наибольший общий делитель многочленов. Алгоритм Евклида.

О1)Общим делителем многочленов f(x) и g(x) называется такой d(x) что, выполняются f(x)⋮d(x) и g(x)⋮d(x).

О2)Наибольшим будет тот из общих делителей степень которого больше.

Будем считать что, общий делитель d(x) который делится на любой другой делитель этих многочленов будет наибольшим d(x)=(f(x),g(x)) очевидно что, общим делителем многочленов будет и делитель вида: с*d(x)=(с*f(x),с*g(x)),c=const 0.

НОД отыскивается с точностью до постоянного множителя. Многочлены отличающееся друг от друга постоянным множителем называются ассоциированными. НОД отыскивают с помощью алгоритма Евклида который состоит в следующем: с начал делят с остатком многочлен f(x) на g(x) затем g(x) на остаток от первого деления затем от первого деления на остаток от второго деления и так далее до тех пока не получится нулевой остаток при этом получается цепочка равенств.

Последний не нулевой остаток и есть НОД двух многочленов.

Пример 1:

В кольце R[x] найти НОД двух многочленов:

.

На практике может возникнуть задача отыскания нескольких многочленов:

НОД(f,g…q)=НОД(f,НОД(g,…НОД(t,q)…)).

Т1:НОД двух многочленов может быт представлен в виде:

Где из тогоже кольца что, и данные многочлены.

Доказательство:

Для нахождения НОД(f,g) воспользуемся равенствами 1 алгоритма Евклида:

подставляя это равенство во второе равенство совокупности 1 можем выразить остаток .

действуя так и далее можно выразить остаток через f(x) и g(x) а, также последний остаток .

Пример 2:

Из примера 1 запишем представление остатков:

§ 8 Наименьшее общее кратное двух многочленов.

О1) Многочлен называется общим кратным для и если .

О2)Общее кратное f(x) и g(x) на которое делится любое общее кратное этих многочленов называется наименьшим общим кратным многочленов и и обозначается: .

Т1:Для любых многочленов существует наименьшее общее кратное которое можно найти по формуле

Доказательство:

Пусть многочлен некоторое произвольное общее кратное многочленов f(x) и g(x). Так как М общее кратное то M(x)=f(x)p(x), M(x)=g(x)q(x)

(f(x),g(x))=d(x), тогда

g(x)⋮d(x)

Из этого равенства видно, что 

Получено выражение для произвольного общего кратного многочленов f(x) g(x) положив в этом выражении 𝜑(x)=1 получим формулу для нахождения наименьшего общего кратного.

Замечание:

[f,g]⋮f

[f,g]⋮g

M⋮[f,g]