- •Л1 02.09.09 Алгебра многочленов
- •§1: Многочлены как функции действительной переменной
- •§2 Алгебраическое определение кольца многочленов
- •§3 Кольцо многочленов над областью целостности
- •§4 Деление с остатком многочлена на двучлен (X- )
- •§5 Наибольшее возможное число корней в области целостности.
- •§6 Деление с остатком
- •§ 7 Наибольший общий делитель многочленов. Алгоритм Евклида.
- •§ 8 Наименьшее общее кратное двух многочленов.
- •§9 Многочлены не приводимые над полем
- •§10 Разложение многочлена в произведении нормированных не приводимых множителей
- •§11 Формальная производная многочлена
- •§12 Не приводимые кратные множители многочлена.
- •§ 13 Кратные корни многочлена
- •§14 Разложение многочлена по степеням двучлена
- •§15 Кольцо многочленов от n переменных
- •§16 Степень многочлена. Лексикографическое упорядочение членов многочлена.
- •§17 Разложение многочлена от n переменных в произведение не приводимых множителей
- •§18 Cсимметрические многочлены
- •§ 19 Основная теорема о симметрических многочленах.
- •§20 (Дополнение к теме нод). Результант 2 многочленов
- •§21 Многочлены над полем комплексных чисел
- •§ 22 Зависимость между корнями. Теорема Виета.
- •§23 Свойства мнимых корней многочлена с действительными коэффициентами
- •§24 Разложение многочлена над полем действительных чисел в произведение не приводимых множителей
- •§25 Решение кубических уравнений
- •§27 Решение уравнений 4 степени(Феррари)
- •§28 Теорема Штурма(отделение действительных корней многочлена)
- •§29 Отыскание рациональных корней многочлена
- •30 Т(Критерий не приводимости Эйзенштейна):
- •31 Простое алгебраическое расширение как линейное пространство.
- •32 Избавление от иррациональности
Л1 02.09.09 Алгебра многочленов
Лит: Винбег Алгебра многочленов
Задачник практикум
Т1: Многочлены от одной переменной
§1: Многочлены как функции действительной переменной
Рассмотри понятия многочлена или целой рациональной функции от одной переменной.
О1) функция вида:
(1) –называется многочленом
Где действительные числа, x действительная переменная, n целое число- степень многочлена.
коэффициенты, Число n называют степенью многочлена, – свободный член.
С точке зрения мат записи имеем сумму например:
- 1 степени;
-2 степени;
Частным случаем является постоянная функция f(x)=a ,a-cost.
Многочлен коэффициенты которого равны 0 называется, многочлен нулевой степени.
Заметим что над многочленами можно выполнять: сложение, вычитание, умножения в результате чего получается снова многочлен. Пусть имеется многочлен (1) и многочлен: ;(2)
тогда:
;
Произведением многочленов f и g называется сумме всевозможных произведений U*V где U любой член из f(x), а V из g(x) тогда:
;
где:
Так как сумма, разность и произведение многочленов также являются многочленом то многочлены образуют под кольцо в кольце всех функций действительного аргумента. Кольцо многочленов от действительной переменной x обозначается R[x] . Поскольку кольцо всех функций коммутативно и ассоциативно кольцо R[x] также обладает этими свойствами а значит в нем существует единичный элемент f(x)=1. Многочлены в алгебре также в связи с решением уравнений f(x)=0 где левая часть многочлен n-ной степени от одной переменной то в этом случае многочлен рассматривается как многочлен комплексной переменно. В алгебре рассматривают многочлены на более общих алгебраических системах, коэффициенты которых принадлежат произвольному кольцу, значительно отличаются от многочленов с числовыми коэффициентами.
§2 Алгебраическое определение кольца многочленов
О1) Пусть R[x] произвольное кольцо многочленов от переменной х с коэффициентами из R назовем формальное выражение:
(1)
где n целое число выражение (1) надо рассматривать как единый символ у которого операции над отдельными частями не подразумевается будем называть коэффициентами многочлена (1) при , а для всех k>n коэффициент при равен 0 для обозначения многочлена используют .
Два многочлена будем считать равными если каждый коэффициент из равен соответствующему коэффициенту из и записывается f(x)=g(x).
Для многочленов (1) и(2) определим их сумму f(x)+g(x) и произведение f(x)*g(x) по формулам рассмотренным в §1. Эти определения согласуются с данным выше определением равенства многочленов:
f1(x)=f2(x);
g1(x)=g2(x);
f1(x)+g1(x)=f2(x)+g2(x);
f1(x)*g1(x)=f2(x)*g2(x);
Свойства умножения и сложения многочленов
коммутативность сложения путь f,g заданы (1) и(2) тогда согласно определения операции сложения будим иметь:
так как коэффициенты многочлена это элементы кольца R то, , а следовательно мы получим g(x)+f(x)= f(x)+g(x)
ассоциативность сложения
доказывается аналогично сделать дома
существование нуля. Назовем нулевым многочленом такой у которого коэффициенты равны 0 и обозначим символом 0. этот многочлен играет роль нейтрального элемента по сложению f(x)+0=f(x)
существование противоположного элемента –f(x) его коэффициенты противоположны соответствующим коэффициентам f(x), f(x)+(-f(x))=0
дистрибутивность умножения относительно сложения
ассоциативность умножения
доказать самостоятельно
Свойства 1-6 означают что множество многочленов коэффициентами из кольца R образует кольцо относительно операций сложения и умножения многочленов.
Как и во всяком кольце в кольце многочленов можно определить операцию их вычитания.
Кольцо R является под кольцом кольца многочленов
Предположим что в кольце R содержит единицу
По формуле произведения многочленов можно найти квадрат этого многочлена, куб и в общем случае:
умножая в поле многочленов элемент:
и выбрав мы можем утверждать, что .
Путем сложения таких слагаемых получим
Коэффициенты этого многочлена R-под кольцо.
Введем понятие степени многочлена
Степенью не нулевого многочлена f(x) называется наибольшее из таких чисел n, что (сстепень нулевого многочлена считается равной мину бесконечности) и обозначается ст f(x) всякий многочлен степени большей или равной 0 будет записан в виде (1) где . При этом – называют старшим членом многочлена (1).
Если старший член равен 1 то он называется нормированный(приведённый) многочлен.
Рассматривая формулы по которым определяются сумма многочленов мы видим, что полученный многочлен не содержит члены степени которых выше чем
А произведение не содержит члены степень которых выше m+n
Пример 1: