- •Л1 02.09.09 Алгебра многочленов
- •§1: Многочлены как функции действительной переменной
- •§2 Алгебраическое определение кольца многочленов
- •§3 Кольцо многочленов над областью целостности
- •§4 Деление с остатком многочлена на двучлен (X- )
- •§5 Наибольшее возможное число корней в области целостности.
- •§6 Деление с остатком
- •§ 7 Наибольший общий делитель многочленов. Алгоритм Евклида.
- •§ 8 Наименьшее общее кратное двух многочленов.
- •§9 Многочлены не приводимые над полем
- •§10 Разложение многочлена в произведении нормированных не приводимых множителей
- •§11 Формальная производная многочлена
- •§12 Не приводимые кратные множители многочлена.
- •§ 13 Кратные корни многочлена
- •§14 Разложение многочлена по степеням двучлена
- •§15 Кольцо многочленов от n переменных
- •§16 Степень многочлена. Лексикографическое упорядочение членов многочлена.
- •§17 Разложение многочлена от n переменных в произведение не приводимых множителей
- •§18 Cсимметрические многочлены
- •§ 19 Основная теорема о симметрических многочленах.
- •§20 (Дополнение к теме нод). Результант 2 многочленов
- •§21 Многочлены над полем комплексных чисел
- •§ 22 Зависимость между корнями. Теорема Виета.
- •§23 Свойства мнимых корней многочлена с действительными коэффициентами
- •§24 Разложение многочлена над полем действительных чисел в произведение не приводимых множителей
- •§25 Решение кубических уравнений
- •§27 Решение уравнений 4 степени(Феррари)
- •§28 Теорема Штурма(отделение действительных корней многочлена)
- •§29 Отыскание рациональных корней многочлена
- •30 Т(Критерий не приводимости Эйзенштейна):
- •31 Простое алгебраическое расширение как линейное пространство.
- •32 Избавление от иррациональности
§ 22 Зависимость между корнями. Теорема Виета.
Т: Если числа являются корнями многочлена n степени
То справедливы следующие формулы называемые формулами Виета:
…
Доказательство:
По условию числа являются корнями многочлена n степени из кольца С[Z] этот многочлен можно представить в виде произведения линейных множителей: . Раскроим скобки в правой части (рассмотрим эту процедуру для многочлена 3 степени)
На основании определения равенства 2 многочленов приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях:
Из последних равенств следует формулы Виета.
■
Замечание: Рассмотренные формулы Виета обобщают известные из школьного курса математики формулы Виета
Пример 1:
Составить нормированный многочлен наименьшей степени имеющий простой корень -1 и двукратный корень i.
§23 Свойства мнимых корней многочлена с действительными коэффициентами
Т1: Если число является корнем многочлена f(x) с действительными корнями то и сопряжённое число также является корнем многочлена f(Z).
Доказательство:
Пусть воспользуемся свойствами комплексных сопряжённых чисел:
Сумма сопряжённых равна сопряжённому суммы и произведение сопряжённых равно сопряжённому произведения:
Воспользовавшись свойствами
С учетом того, что коэффициенты многочлена числа действительные, то есть представимые в виде
Таким образом получили является корнем.
■
Т2: Если число k кратности, для многочлена f(z), то и сопряжённое ему число имеет k кратность для этого же многочлена.
Доказательство:
По условию k кратности, тогда значение многочлена будет равно 0:
, но
Учитывая Т1 будем иметь
Так как f(z) с действительными коэффициентами то и
также многочлены с действительными коэффициентами. Докажем, что (методом от противного) предположив, что , учитывая Т1 это будет многочлен с действительными коэффициентами→ что противоречит условию.
■
§24 Разложение многочлена над полем действительных чисел в произведение не приводимых множителей
Т1: Всякий многочлен f(x)ϵ R[x] с действительными коэффициентами степени больше 2 приводим над полем R.
Доказательство:
По условию поосновной теореме алгебы многочлен имеет корень в поле C, обозначим его возможны: .
По теореме Безу делится на . с действительными коэфициентами и его корень. То есть преводим над полем R.
Пусть то сопряжённое ему также является корнем. Следовательно по теореме Безу данный многочлен будет делится на и и делится на их произведение, а тогда
Рассмотрим
Многочлен с действительными коэффициентами представим в виде квадратного двучлена и многочлена p также с действительными переменными, то есть приводим над R.
■
Следствие: Над полем R не приводимы многочлены 1 степени и многочлены 2 степени которые имеют комплексные корни.
Т2: Всякий многочлен степени не ниже 1, единственным образом разлагается с точностью до порядка множителей над полем R в произведение нормированных линейных множителей и квадратных трехчленов то есть: .
Доказательство:
По Т1 можно представить в виде произведения многочленов 1 степени и 2 степени с мнимыми корнями с учетом того, что корни могут оказаться кратными то есть некоторые неприводимые над С многочлены в разложении могут повторятся то в общем случае запевшим:
В результате получим, что f(x) удовлетворяет (*).
■