21.Функция, последовательность,функционал.

1. Функцией А–f–В, где А и В – множества произвольной природы, называется закон, по которому элементам из первого множества А ставятся в соответствие элементы из второго множества В. Закон обозначается знаком f.Функциона́л традиционно — функция, определённая на множестве функций со значениями обычно в вещественных числах.Примеры функционалов: норма функции ;значение функции в фиксированной точке ;максимум или минимум функции на отрезке ;величина интеграла от функции ;длина графика вещественной функции вещественной переменной ;длина кривой, параметрически заданной векторной функцией вещественного аргумента (длина пути);площадь поверхности, параметрически заданной векторной функцией двух вещественных аргументов

2 Глава.

1.Величина и ее измерение.

Величина – обобщение таких конкретных понятий как длина, площадь, вес, цена.

Величинами назыв. такие св-ва объектов и явлений, которые могут быть измерены.

Измерение- сравнение данной величины с качественно подобной ей величиной принятой за единицу меры. в рез-те измерений получаются безразмерные числа называемые значениями величины.

2.Постоянные и переменные величины.

Величины делятся на переменные и постоянные величины.

Постоянная величина- такая величина, которая при данном исследовании и префексированной единице меры сохраняет одно и тоже значение, выражающиеся определенным числом. Если единицу мры уменьшить или увеличить в определенное число раз, то численные значения величины увеличивается или уменьшается в это же число раз, но сама величина не меняется.

Переменная величина- такая величина, которая при данном исследовании и префексированной единицей меры меняет свои значения.

3.Изменение переменной величины, переменные величины- дискретные и меняющиеся в промежутке.

Переменная величина- такая величина, которая при данном исследовании и префексированной единицей меры меняет свои значения.

Характер изменения переменной величины может быть самым разнообразным. Во множестве значений этой величины вводится отношение порядка, тогда можно будет отличить предшествующее значение и последующее значение этой величины, а множество значений будет упорядоченным.

Изменением переменной величины назыв. переход от ее предшествующих значений к последующим. Независимая переменная величина может меняться произвольным образом: либо возрастать, либо убывать, либо меняться по какому-то более сложному способу.

Переменная величина. представленная членами последовательности а1,а2,а3..меняется с возрастанием индекса, т.е. если m < n, то Аm<An.

Если мно-во знач. перемен. величины состоит из отедельных изолированных друг от друга знач., то такая величина назыв. дискретной.

Если знач. перемен. велич. полностью заполняет некоторый промежуток, то такая велич. назыв. меняющейся в этом промежутке.

4.Бесконечно малая величина.

Переменная величина х называется бесконечно малой или стремящейся к 0, если в ходе ее изменения lxl остановится и остается меньше любого наперед заданного, сколь угодно малого положительного числа Е, т.е. lxl < E.

Переменная величина х называется бесконечно малой или определяющейся к 0, если при любом наперед заданном сколь угодно любом положительном числе Е найдется такое значение

Теорема: алгебраическая сумма бесконечно малых есть величина бесконечно малая.

5.Предел переменной величины.

Предел переменной величины х называется такое постоянное число а, что разность (х-а) есть величина бесконечно малая, т.е. (х-а)=

Пределом переменной величины х называется такое постоянное число а, что выполняется условие при любом сколь угодно малом, наперед заданном положительном а называется такое знач. переменной велич. х=х нулевого.

6.Бесконечно большая величина.

Бесконечно большая величина — числовая функция или последовательность, которая стремится к бесконечности определённого знака. Бесконечно большая величина не имеет конечного предела.

Последовательность a_n называется бесконечно большой, если ;

Функция называется бесконечно большой в окрестности точки x₀, если ;

Функция называется бесконечно большой на бесконечности, если либо .

7. Монотонная переменная. Теорема Вейерштрасса.

8.Предел функции и ее геометрический смысл.

Геометрический смысл предела функции:

Если для любой ε-окрестности точки А найдется такая δ-окрестность точки х_о, что для всех х¹хо из етой  δ-окрестность соответствующие значения функции ƒ(х) лежат в ε-окрестности точки А. Иными словами, точки графика функции у=ƒ(х) лежат внутри полосы шириной 2ε, ограниченной прямыми у=А+ ε , у=А-ε (см. рис. 110). Очевидно, что величина δ зависит от выбора ε, поэтому пишут δ=δ(ε).

Предел фун-ции- Функция f(x) имеет предел A в точке x₀, если для всех значений x, достаточно близких к x₀, значение f(x) близко к A.

Определение Коши в терминах «ε−δ»

Число A называется пределом функции в точке x₀, если для любого положительного числа найдется положительное число такое, что для всех x из выколотой δ-окрестности точки x₀ выполняется неравенство