§ 6. Теоремы ляпунова и лапласа

1. Теорема Ляпунова. Часто приходится иметь дело с такими случайными величинами, которые являются суммами большого числа независимых случайных величин. При некоторых весьма общих условиях оказывается, что эта сумма имеет распределение, близкое к нормальному, хотя каждое из слагаемых может не подчиняться нормальному закону распределения вероятностей. Эти условия были определены Ляпуновым¹⁶ и составляют содержание теоремы, названной его именем.

Приведем без доказательства только следствие из теоремы Ляпунова.

Пусть x₁, x₂, … x_n, …, – последовательность попарно независимых случайных величин с математическими ожиданиями М(_i) = a_i, и дисперсиями , причем эти величины обладают следующими свойствами:

1). cуществует такое число L, что для любого i имеет место неравенство , т. е. все значения случайных величин, как говорят, равномерно ограничены относительно математических ожиданий;

2) сумма неограниченно растет при п  ∞.

Тогда при достаточно большом п сумма ξ₁ + ξ₂ + … + ξ_n имеет распределение, близкое к нормальному.

Пусть а и σ² – математическое ожидание и дисперсия случайной величины ξ = ξ₁ + + ξ₂ + … + ξ_n. Тогда

a = M(ξ) = M(ξ₁ + ξ₂ + … + ξ_n) = M(ξ₁) + M(ξ₂) + … + M(ξ_n) = ,

σ² = D(ξ) = D(ξ₁ + ξ₂ + … + ξ_n) = D(ξ₁) + D(ξ₂) + … + D(ξ_n) = .

Так как по следствию из теоремы Ляпунова случайная величина ξ для больших значений п имеет распределение, близкое к нормальному, то согласно формуле (32) имеет место соотношение

(56)

где Ф (х) — интеграл вероятностей.

2. Основной закон ошибок. Когда мы производим некоторое измерение, то на его результат влияет большое количество факторов, которые порождают ошибки измерений. Ошибки измерений в основном можно подразделить на три группы: грубые, систематические и случайные.

Грубые ошибки возникают от невнимательности при чтении показателей прибора, неправильной записи показаний, неправильном, использовании прибора. Эти ошибки могут быть исключены соблюдением правил измерения.

Систематические ошибки искажают обычно результат измерения в определенную сторону. Они происходят, например, от несовершенства приборов, от личных качеств наблюдателя и могут быть устранены соответствующими поправками.

Случайные ошибки вызываются большим числом отдельных причин, не поддающихся точному учету и действующих в каждом отдельном случае различным образом. Эти ошибки возникают от незаметных механических причин, из-за изменения параметров измерительных приборов, зависящих от метеорологических условий, и т. д. Каждая из этих причин в отдельности порождает при измерении ничтожную ошибку v_i. Складываясь, эти ничтожно малые ошибки порождают суммарную ошибку v = ∑v_i, которой уже нельзя пренебречь. Эта суммарная ошибка v есть случайная величина, являющаяся суммой достаточно большого числа незначительных, независимых друг от друга случайных величин и имеет, согласно следствию из теоремы Ляпунова, нормальное распределение. Предполагая измерение свободным от грубых и систематических ошибок, можно считать, что возможный результат измерения есть случайная величина ξ, математическое ожидание которой равно истинному значению а измеряемой величины: М(ξ) = а (см. §5, п.2). Так как суммарная ошибка v = ξ – a подчиняется нормальному закону распределения, то возможный результат измерения ξ = a + v также подчиняется нормальному закону распределения (см. §4, п.3). В этом заключается основной закон ошибок.

3. Интегральная теорема Лапласа. Имеет место следующее утверждение.

Теорема. Пусть производится п независимых опытов, в каждом из которых вероятность наступления события А одна и та же и равна р (р ≠ 1, р ≠ 0). Пусть т – число появлений события А в п опытах. Тогда для достаточно больших п случайная величина т имееm распределение, близкое к нормальному с параметрами а = М(т) = пр,

Доказательство. Пусть ξ – число наступлений события А в i-м опыте. Тогда a_i= = M(ξ_i) = p, (см. §4, п.2, пример 2). Так как ξ_i может принимать только два значения 0 и 1, то для любого i имеем |ξ_i – a_i| = | ξ_i – р| ≤ |ξ_i| + |p| ≤ 1 + 1 = 2. Кроме того, величина стремится к бесконечности при n → ∞. Итак, последовательность случайных величин x₁, x₂, … x_n удовлетворяет условиям следствия из теоремы Ляпунова. Поэтому сумма этих величин m = ξ₁ + ξ₂ + … + ξ_n для достаточно больших п имеет распределение, близкое к нормальному, что и требовалось доказать.

Вычислим вероятность того, что случайная величина т, т. е. число наступлений события А в п опытах, удовлетворяет неравенствам x₁ < m< x₂, где х₁ и х₂ – данные числа. Так как а = М(т) = пр, σ = σ(m) = (см. §4, п.2, пример 2), то согласно формуле (32) получим

, (57)

где Ф (х) — интеграл вероятностей.

Пример. При установившемся технологическом режиме завод выпускает в среднем 70% продукции первого сорта. Определить вероятность того, что из 1000 изделий число первосортных заключено между 652 и 760.

Решение. Здесь р = 0,7; q=1 – р = 0,3, п = 1000, пр = 0,7∙1000 = 700, npq =1000∙0,7∙0,3 = 210, = ≈ 14,49. Используя формулу (57) и значения интеграла вероятностей из табл. 2 Приложения, получим

Р(652 < m < 760) ≈ Ф[(760 – 700)/14,49] – Ф[(652 – 700)/14,49] = Ф(4,14) – Ф(–3,31) = Ф(4,14) + Ф(3,31) =

= 0,49997 + 0,49948 = 0,99945.