§ 2. Последовательные испытания. Формула бернулли

Предположим, что производится п независимых испытаний, в результате каждого из которых может наступить или не наступить некоторое событие А. Пусть при каждом испытании вероятность наступления события А равна Р(А) = р и, следовательно, вероятность противоположного события (ненаступления А) равна Р(Ā) = 1 – p = q. Определим вероятность Р_п(т) того, что событие А произойдет т раз при n испытаниях. При этом заметим, что наступления или ненаступления события А могут чередоваться различным образом. Условимся записывать возможные результаты испытаний в виде комбинаций букв А и Ā. Например, запись АĀĀА означает, что в четырех испытаниях событие осуществилось в 1-м и 4-м случаях и не осуществилось во 2-м и 3-м случаях.

Всякую комбинацию, в которую А входит т раз и Ā входит n–m раз, назовем благоприятной. Количество благоприятных комбинаций равно количеству k способов, которыми можно выбрать т чисел из данных п; таким образом, оно равно числу сочетаний из п элементов по т, т. е. k = .

Подсчитаем вероятности благоприятных комбинаций. Рассмотрим сначала случай, когда событие А происходит в первых т испытаниях и, следовательно, не происходит в остальных n–m испытаниях. Такая благоприятная комбинация имеет следующий вид:

В₁ = АА…А ĀĀ… Ā

т раз n–m раз

Вероятность этой комбинации в силу независимости испытаний (на основании теоремы умножения вероятностей) составляет

т раз n–m раз

Так как в любой другой благоприятной комбинации В_i событие А встречается также т раз, а событие Ā происходит n–m раз, то вероятность каждой из таких комбинаций также равна p^mq^n-m. Итак,

P(B₁) = P(B₂) = ... = P(B_k )= p^m∙q^n-m.

Все благоприятные комбинации являются, очевидно, несовместными. Поэтому, (на основании аксиомы сложения вероятностей)

Р_п(т) = Р(В₁ + В₂ + ... + В_k) = Р(В₁) + Р(В₂) + ... + Р(В_k) = kp^mq^n-m = p^mq^n-m.

Следовательно,

P_n(m) = p^mq^n-m , (l3)

или, так как , то

(13')

Формула (13) называется формулой Бернулли³.

Пример 1. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,7. Какова вероятность того, что 8 выстрелов дадут 5 попаданий?

Решение. Здесь п = 8, m = 5, p = 0,6, q = 1 – 0,6 = 0,4. Используя формулу (13'), имеем:

Часто необходимо знать, при каком значении т вероятность принимает наибольшее значение, т. е. требуется найти наивероятнейшее число т_o наступления события А в данной серии опытов. Можно доказать, что число т_o должно удовлетворять двойному неравенству:

np – q ≤ m_o ≤ np + p. (14)

Заметим, что сегмент [np – q, пр + р], в котором лежит т_o, имеет длину (пр +p) – (nр – q) = p+q = 1. Поэтому, если какой-либо из его концов не является целым числом, то между этими концами лежит единственное целое число, и т_o определено однозначно. В том случае, если оба конца – целые числа, имеются два наивероятнейших значения: np – q и пр +р.

Пример 2. Определить наивероятнейшее число попаданий в цель в примере 1.

Решение. Здесь п = 8, р = 0,6, q = 0,4, np –q = 8∙0,6 – 0,4 = 4,4, np + p = 8∙0,6 + 0,4 = 5,2. Согласно формуле (14) наивероятнейшее значение m_o лежит на сегменте [4,4; 5,2] и, следовательно, равно 5.

При больших значениях п подсчет вероятностей Р_n(т) по формуле (13) связан с громоздкими вычислениями. В этом случае удобнее пользоваться следующей формулой:

. (15)

где (р не равно нулю и единице), а .

Формула (15) выражает так называемую локальную теорему Лапласа⁴. Точность этой формулы повышается с возрастанием n.

Функция φ_o(x), как мы увидим в дальнейшем, играет очень большую роль в теории вероятностей. Ее значения при различных значениях аргумента приведены в Приложении (см. табл. 1).

Пример 3. Игральную кость бросают 80 раз. Определить вероятность того, что цифра 3 появится 20 раз.

Решение. Здесь m = 20, n = 80, p = 1/6, q = 1 – 1/6 = 5/6; далее, находим:

, .

Используя формулу (15), получим:

,

так как из табл. 1 приложения находим, что .