13. Момент силы. Момент импульса. Основной закон динамики вращательного движения.
Различают два основных вида вращательного движения твердого тела:
вращение вокруг неподвижной точки О, при котором все точки тела движутся по поверхностям концентрических сфер с центром в точке О;
вращение вокруг неподвижной оси ; здесь все точки тела вращаются по окружностям, центры которых лежат на одной прямой, являющейся осью вращения .
Угловые характеристики: путь , скорость = d/dt и ускорение = d/dt.
Векторные меры движения и взаимодействия, соответственно импульс Р и сила F заменяются во вращательном движении на момент импульса L и момент силы М, а мера инертности – масса m – на момент инерции J.
В качестве векторной меры вращательного движения некоторой материальной точки m относительно неподвижной точки (полюса) О выбирается величина L, называемая моментом импульса и определяемая векторным произведением радиус-вектора r материальной точки на ее импульс р = m: L = [r, р]
Вектор L направлен согласно правилу правого винта или из конца вектора L поворот вектора r к вектору р виден совершающимся по кратчайшему расстоянию против часовой стрелки
Соответственно в качестве момента импульса L твердого тела (или системы материальных точек) относительно неподвижной точки О выбирается векторная величина, равная геометрической сумме моментов импульсов L, составляющих систему (тело) точек: L = L = [r, р]
В качестве элементарной меры вращательного взаимодействия выбирается величина М, называемая моментом силы относительно точки и численно равная векторному произведению радиус-вектора r точки приложения силы на вектор силы F, то есть М = [r, F]. Вектор М направлен перпендикулярно плоскости векторов r и F по правилу правого винта. Модуль вектора момента силы равен: М = Frsin = Fl, где - угол
между векторами r и F, а l = rsin - плечо силы F, то есть длина перпендикуляра, опущенного из точки О на линию действия силы F.
Закон изменения момента импульса твердого тела (системы материальных точек) или уравнение моментов имеет вид: dL/dt = Мвнеш
– быстрота изменения момента импульса твердого тела относительно неподвижной точки равна результирующему моменту относительно той же точки всех внешних сил, действующих на тело.
Основное уравнение Мz = Jz динамики вращательного движения твердого тела (системы материальных точек) относительно неподвижной оси по своей структуре идентично второму закону Ньютона F = mа. Аналогом массы m в нем выступает момент инерции J твердого тела. И так же, как масса, он выступает мерой инертности тела, но применительно к вращательному движению. Чем больше момент инерции J твердого тела, тем меньшее угловое ускорение оно приобретает под действием одного и того же момента М внешних сил, то есть тем медленнее изменяется его угловая скорость.
14. Момент импульса материальной точки. Момент импульса тела. Закон сохранения момента импульса. Примеры.
В качестве векторной меры вращательного движения некоторой материальной точки m относительно неподвижной точки (полюса) О выбирается величина L, называемая моментом импульса и определяемая векторным произведением радиус-вектора r материальной точки на ее импульс р = m: L = [r, р]
Вектор L направлен согласно правилу правого винта или из конца вектора L поворот вектора r к вектору р виден совершающимся по кратчайшему расстоянию против часовой стрелки
Соответственно в качестве момента импульса L твердого тела (или системы материальных точек) относительно неподвижной точки О выбирается векторная величина, равная геометрической сумме моментов импульсов L, составляющих систему (тело) точек:
L = L = [r, р]
Закон сохранения момента импульса замкнутой системы.
Для замкнутой системы, на которую не действуют внешние тела или действие их взаимно скомпенсировано, из уравнения моментов вытекает: для М = 0 (условие замкнутости тела для вращательного движения – результирующий момент внешних сил, действующих на тело, должен быть равен нулю) dL/dt = 0 => L = const. Это равенство и выражает собой закон сохранения момента импульса (ЗСМИ) замкнутой системы. Так же, как и рассмотренные ранее законы сохранения других мер движения - импульса и энергии, этот закон является отражением некоторого свойства симметрии пространства - времени, а именно - изотропии пространства, т. е. равноправия всех направлений в нем. Этот закон, как и другие законы сохранения, является эффективным средством решения основной задачи механики - расчёта координат /положений/ и скоростей тел. При вращательном движении системы тел внутренние взаимодействия могут перераспределять полный импульс системы между отдельными телами или их частями, не изменяя его суммарного значения.