20. Формула Эйлера. Запись гармонических колебаний в комплексной форме

Для представления гармонических колебаний в комплексной форме воспользуемся формулой Эйлера e^iα = cos α +i·sin α, где i = (-1)^1/2 - мнимая единица. Изобразим произвольное комплексное число z^~ = x + i·y на плоскости XY. В декартовой системе координат действительную часть комплексного числа x обычно откладывают по оси абсцисс, а мнимую y - по оси ординат (см. рис. 11.6). Следовательно, любое комплексное число можно представить в виде вектора A на комплексной плоскости, проведенного из начала координат в точку с координатами {x, y}. Исходя из формулы Эйлера и представления z^~ в виде суммы действительной и мнимой составляющих, любое комплексное число можно записать в экспоненциальной форме: z^~ = A·e^iα где A = (x² + y²)^1/2 - модуль комплексного числа; tg α = y/x - фаза комплексного числа.

21. Затухающие колебания. Дифференциальное уравнение затухающих колебаний, время релаксации, коэффициент затухания, декремент.

Проведём физико-математический анализ собственных (затухающих) колебаний применительно к грузу на пружине. Используем силовой подход, основывающийся на втором законе Ньютона. Силу сопротивления зададим в виде: F_cопр = - r , где r - коэффициент сопротивления вязкой среды. Запишем второй закон Ньютона для груза массой m, колеблющегося в вязкой среде на пружине с жесткостью k: mа = F_; F_ = F_упр + F_сопр = - kх – r , или для одномерного случая: mx" = - kх – rх' =  х" + 2(r2m)х' + (km)х = 0  х" + 2х^ + _о²х = 0 Полученное дифференциальное уравнение затухающих колебаний (ДУЗК) отличается от дифференциального уравнения свободных гармонических колебаний (ДУСГК) наличием члена, содержащего первую производную х' от смещения х и отражающего собой действие силы сопротивления. Под  = r2m обозначен коэффициент затухания - от­ношение мер сопротивления и инертности. За _о = (k/m) обозначена частота свободных колебаний, т. е. в отсутствии сопротивления, при r = 0.

Для решения полученного дифференциального уравнения затухающих колеба­ний сведём его путём замены переменной х = zе^–t к уравнению свободных гармонических колебаний. Выразим первую и вторую производные х и под­ставим их в ДУЗК:

х' = ddt(zе^–t) = z^е^-t - z^e^-t; х" = z^e^{- t} + ²ze^-t - z^e^-t - z^e^-t = z^e^-t - 2z^e^-t + ²ze^-мt;

(z^ - 2z^ + ²z + 2z^ - 2²z + _о²z)e^-t = 0  z^ + (_о² – ²)z = 0 или: z^ + ²z = 0, где ² = _о² - ².

В новой переменной z дифференциальное уравнение затухающих колебаний свелось к известному дифференциальному уравнению свободных гармонических колебаний (ДУСГК), решение которого имеет стандартный вид гармонической функции z = А_оcos(t + ).

Осуществляя обратный переход к исходной переменной х, получим:

х = zе^–t = А_оe^-tcos (t + ) = Аcos (t + ) - уравнение затухающих колебаний, где А = A_оe^-t - амплитуда затухающих колебаний, убывающая со временем по экспоненциальному закону. Коэффициент затухания  определяет скорость убывания амплитуды, быстроту перевода механической энергии колебаний во внутреннюю, тепловую энергию.

Помимо убывания амплитуды колебаний, сопротивление среды приводит к понижению циклической частоты  затухающих колебаний  = (_о² – ²) в сравнении с частотой _о свободных колебаний. Это можно объяснить тем, что сила сопротивления, будучи направленной против скорости (перемещения) груза, замедляет его движение, увеличивая дли­тельность цикла (период), уменьшая частоту .

При достаточно большом затухании (удельном сопротивлении  = r/2m)   _о колебательный характер процесса возвращения к положению равновесия системы, выведенной из него, исчезает, превращаясь в монотонно убывающий процесс, называемый апериодическим. В этом случае трение, диссипация преобладают над упругостью. Такой режим реализуется, например, для движения рамки электроизмерительных приборов.

Коэффициент затухания  может быть осмыслен через обратную ему величи­ну - время релаксации  = 1, за которое, как нетрудно видеть, амплитуда колебаний убывает в е = 2,72 раз. Действительно, за время t =  = 1, A = A_оe^-t = A_оe^{-1} = A_оe^-1 = A_оe.

Коэффициент  недостаточно полно характеризует быстроту затухания ко­лебаний, ибо из него неясно, сколько периодов колебаний (естественных масштабов времени) совершается за время релаксации. Коэффициент затухания  характеризует быстроту спадания лишь огибающей колебаний. Поэтому вводят такую харак­теристику затухания колебаний, как декремент затухания , равный отношению значений двух соседних амплитуд (амплитуд, разделённых периодом):

 = А(t)А(t + Т) = A_оe^-tA_оe^{-(t + Т)} = e^-te^-t e^-Т = e^Т - изменение амплитуды за время, равное периоду Т.

На практике удобнее пользоваться логарифмическим декрементом  (или ) затухания колебаний:  = ln  = ln [А(t)А(t + Т)] = ln e^Т = Т;  = Т = T. Его наглядный смысл может быть представлен через величину _е - число колебаний, совершающихся за время релаксации , обратным которому и яв­ляется :  = T = 1(Т) = 1_е, где _е = Т.

Затухание колебаний фактически приводит к нарушению не только гармо­нического характера, но и периодического, ибо нет строгой повторяемости значений изменяющихся величин по причине их убывания. Отсюда следует, что периодические и гармонические колебания возникают при условии малого затухания (малого сопротивления среды, малой диссипации механической энергии колебаний).