6. Система материальных точек. Центр масс. Движение центра масс замкнутой системы.

При поступательном движении системы материальных точек /твёрдого тела/ все точки системы движутся с одинаковыми мгновенными линейными скоростями и ускорениями, и движение всей системы /тела/ эквивалентно движению любой её точки. Обычно в качестве точки, моделирующей движе­ние всей системы, выбирается точка С, называемая центром масс системы. Она задаётся радиусом - вектором r_С, определяемым через радиус - векторы r_ материальных точек системы, об­ладающих массами m_, следующим выражением:

r_С = m_r_М , где М = m_ - полная масса системы из  точек.

Скорость _с движения центра масс равна:

_с = dr_С/dt = d/dt(m_dr_/М) = m__М = Р_СМ,

где Р_С = m__ - полный импульс системы.

Закон изменения скорости центра масс системы (или уравнение движения центра масс) - естественное обобщение основ­ного уравнения динамики точки на систему частиц, твёрдое тело:

а_с = d_с/dt = (1М)dР_С/dt = F_{ внеш}М –

- центр масс механической системы движется как материа­льная точка, масса которой равна массе М системы, под действием результирующей F_{ внеш} внешних сил, приложенных к системе. Эта теорема о движении центра масс показывает, что при поступательном движении твердого тела можно не учитывать его размеры и форму, т.к. все его точки движутся идентично. Если результирующая внешних сил равна нулю: F_{ внеш}=0, то центр масс системы точек движется с постоянной скоростью, сохраняя состояние своего движения, в частном случае – покоя. Внутренние взаимодействия не меняют положения центра масс; это утверждение часто используется при решении задач механики замкнутой системы тел.

7. Работа. Мощность. Работа постоянной и переменной силы.

Наряду с векторным подходом к решению основной задачи механики, в физике широко используется и более общий скалярно-энергетический под­ход. В нём в качестве динамической меры движения выступает более уни­версальная величина, не имеющая уже векторного характера, называемая кинетической энергией Е_к.

Если элементарное изменение импульса dР точечного (твердого) тела определялось действием силы F на вре­менном интервале dt, а именно - импульсом силы Fdt, то элементарное изменение кине­тической энергии dE_к определяется действием силы на пространственном интервале dr, называемом работой силы dА = Fdr.

Кинетическая энергия, как и работа, измеряется в джоулях: 1 Дж = 1 Нм.

Работа силы - величина скалярная, но алгебраическая, т. е. имеющая знак. Если она ускоряет тело, увеличивает его кинетическую энергию - она положительна. Если же она тормозит тело, то её значение будет отри­цательным; такова работы сил трения, сопротивления. Если при действии силы на тело, его скорость не изменяется по модулю, работа си­лы равна нулю.

Элементарная работа силы dA = Fdr = Fdrcos (F dr) = Fdr_F зависит от угла между силой F и перемещением dr тела. Сила, перпендикулярная перемещению dr (и скорости  = dr/dt) тела, работы не совершает, она изменяет лишь направление скорости, сообщая телу вращательное движение.

Постоянная сила F, действующая под углом  к перемещению тела и его скорости, на прямолинейном пути s совершает работу равную:

А = Fscos .

Нa графике F/x/ работа пропорциональна площади фигуры между кривой F(х) и осью х.

Быстрота совершения работы (быстрота изменения кинетической энергии) называется мощностью  силы и она равна:  = dЕ_к/dt = dА/dt = Fdrdt = F = Fcos (F^dr). [Нм/с = Джс = Вт].

Мгновенная мощность численно равна работе, совершаемой за единицу времени при равномерном совершении работы. Средняя же мощность численно равна отношению работы А ко времени t ее совершения, то есть:

 = Аt  А = t.

Имеет место аналогия: силы - как быстроты изменения импульса тела F = dРdt и мощности  = dЕ_к/dt, как быстроты изменения кинетической энергии. Импульс Р и кинетическая энергия Е_к, являющиеся соответственно векторной и скалярной динамическими мерами движения, также просто взаимосвязаны:

Р = m; Е_к = m²/2 = m²²/2m = Р²/2m. Итак,

Е_к = Р²/2m и Р = 2mЕ_к.