1. Материальная точка. Система отсчета. Траектория, путь, перемещение. Скорость. Формулы пути и скорости.

Простейшей, предельно абстрактной идеализацией движущегося тела в механике явля­ется материальная точка - тело, размерами и формой которого в условиях соответствующей конкретной задачи можно пренебречь.

Относительный характер механического движения предполагает и требует введения систем отсчёта при его описании. Под системой отсчёта понимают систему координат (обычно декартову), начало которой связывается с некоторым телом отсчёта. Предполагается также наличие в системе отсчета линеек и часов, то есть инструментов для отсчета пространственных и временных интервалов (длин и длительностей). Исходная кинематическая определённость точечного тела - его поло­жение - задаётся с помощью радиус-вектора r, проводимого из начала системы координат в движущееся тело (точку), или скалярно с помощью координат точки х, у, z. Векторный(Символы векторных величин обозначаются в данном тексте жирным шрифтом.) и скалярный способы задания положения тела взаимосвязаны:

r = iх + kу + jz, где х, у, z - проекции точки (конца радиус - вектора r) на соответствующие оси координат, а i, k, j – орты (единичные векторы) осей Х, Y, Z. При движении тела конец его радиус - вектора описывает линию, называемую траек­торией (линия, вдоль которой движется тело). Уравнение траектории движения точки пред­ставляет взаимосвязь ее координат и для плос­кого (двумерного) движения обычно выражается зависимостью у =  (х). Изменение местоположения тела за время t задаётся или вектором перемещения r, проводимым из начального в конечное местоположение тела, или скаляром – путем S, - расстоянием, отсчитываемым вдоль траектории тела в направлении его перемещения.

r = r – r_о, т. е. вектор перемещения r, представляет собой приращение радиус - вектора r тела (разность между ко­нечным и начальным значениями r).

Обычно модуль перемещения r меньше пройденного точкой пути S. Однако при t  0, r  dr и модуль |dr| элементарного (физически бесконечно малого) перемещения dr стремится к длине дуги, то есть к пути dS (длина дуги dS траекто­рии сравнивается с длиной dr секущей).

Быстрота движения, т. е. быстрота изменения местоположения тела, быстрота прохождения им пути или совершения перемещения характеризуется, величиной, называемой скоростью. Различают среднюю и мгновенную скорости, которые, в свою очередь, подразделяют на скалярные (выражаемые через путь) и векторные скорости, выражаемые через перемещение.

Под средней путевой скоростью  понимают величину, из­меряемую отношением всего пройденного телом пути S ко времени t его прохождения:

 = S/t, [] = м/с.

Под мгновенной скоростью  понимают предел средней скоро­сти при стягивании интервала времени( Интервал времени Dt, то есть разность между конечным t2 (или просто текущим t) и начальным t1 (или t0) моментами, то есть Dt = t2 – t1 = t – tо может быть приравнен к текущему моменту времени t (Dt = t), если начальный момент tо выбран равным нулю. ) t в момент, в мгновение (при t = t  0), то есть  = lim S/t = dS/dt = S^ .

С формальной стороны мгновенная путевая скорость  = dS/dt представляет собой производную от пути по времени. В физике ее допускается трактовать как отношение элементарных (физически бесконечно малых) приращений пути dS и времени dt.

Мгновенная векторная скорость  понимается как предел отношения совершённого телом перемещения r ко времени t его совершения, при условии, что t  0:

 = lim r/t = dr/dt = r^ - производная от радиус – вектора по времени, которая может быть определена и как отношение элементарных (физически бесконечно малых) перемещения dr и времени dt.

Так же, как и радиус – вектор r, мгновенная векторная скорость  может быть записана через проекции на оси координат:

 = dr/dt = d/dt(iх + jу + kz) = idх/dt + jdу/dt + kdz/dt = i_х + j_у + k_z

Численное значение (модуль) скорости равно:

 = (_х² + _у² + _z²). Направление же вектора мгновенной скорости совпадает с направлением вектора элемен­тарного перемещения dr, направленного по вектору касательной  траектории в сторону перемещения тела:

 = dr/dt    dr; dr = lim r при t  0.

 = , где  - единичный вектор ( = 1) касательной к траектории (орт), направленный по направлению движения тела.

Мгно­венная путевая скорость  = dS/dt, равна численному значению (модулю) мгновенной вектор – скорости  = dr/dt, так как при t  0 (при t = dt) длина дуги dS траекто­рии стремится к длине dr секущей.