5. Система материальных точек. Силы внешние и внутренние. Импульс системы материальных точек. Закон сохранения импульса.

Рассмотрим простейшую замкнутую (Замкнутой называют такую систему тел, на которую не действуют внешние тела (силы), и тела которой взаимодействуют лишь между собой, посредством сил, называемых внутренними.) систему из двух материальных точек. Исходя из смысла силы как быстроты изменения импульса, третий закон Ньютона можно записать в виде:

dР₁dt = - dР₂dt  dР₁ = - dР₂  d(Р₁ + Р₂) = 0  Р₁ + Р₂ = const

Полученное равенство выражает собой закон сохранения импульса (ЗСИ) замкнутой системы из двух материальных точек, т. е. точек, взаимодействующих лишь между собой. Общий (суммарный, результирующий) импульс двух тел остается при их движении постоянным, и может при их движении лишь перераспределяться между ними.

Движение может лишь передаваться от одних тел к другим, так что общее его количество в замкнутой системе тел остается неизменным, то есть сохраняется. Полученный выше для двух точек закон сохранения импульса легко обобщается на замк­нутую систему из произвольного числа  материальных точек, и его можно сформулировать так: при любом движении замкнутой системы материальных точек полный её импульс остаётся неизменным: Р_ = const; внутри системы воз­можны лишь перераспределения импульса между отдельными точками.

Рассмотрим систему из n материальных точек. Запишем второй закон Ньютона для  - ой точки: dР_dt = F_. Результирующую силу F_, действующую на  - ую точку системы представим в виде суммы внешних и внутренних сил: F_ = F_{ внеш} + F_k , где F_k – внутренняя сила, дейст­вующая на  - ую точку системы со стороны ее k – ой точки. Полученное равенство dР_dt = F_{ внеш} + F_k, выражающее второй закон Ньютона для  - ой точки системы, просуммируем по всем ее n точкам: dР_dt = F_{ внеш} + F_k. По третьему закону Ньютона силы воздействия  - ой и k – ой точек друг на друга равны по величине и противоположны по направлению, то есть F_k = - F_k. Поэтому при суммировании внутренних сил по всем точкам системы они взаимно скомпенсируют друга, так что F_k = 0. Тогда второй закон Ньютона для системы материальных точек запишется в виде: dР_dt = ddtР_ = dР_dt = F_{ внеш} = F_{ внеш}. Или окончательно dР_dt = F_{ внеш}

Если система замкнута, то есть результирующая действующих на нее внешних сил равная нулю: F_{ внеш} = 0, то dР_dt = 0, откуда следует Р_ = Р_ = const – закон сохранения импульса замкнутой системы материальных точек.

Сохране­ние импульса - величины векторной - означает сохранение и любой его состав­ляющей, проекции на любую ось, любое направление в пространстве. В конкретных задачах динамики векторный закон сохранения импульса за­писывают в скалярной форме, проецируя его на соответствующие направления.

Закон сохранения импульса является эффективным средством, методом реше­ния основ­ной задачи механики (ОЗМ), т. к. он выражает собой взаимосвязь мер (коли­честв) движения взаимодействующих тел. Особенно плодотворным его применение оказывается для кратковре­менных взаимодействий типа удара, взрыва-разрыва, выброса тел, где труд­но задать характер сил, то есть использовать под­ход к решению ОЗМ с непосредственным использованием законов Ньютона. Зная, например, импульсы Р₁ и Р₂ двух тел до удара и импульс Р_^ одного из тел после удара, можно, пользуясь законом сохранения импульса, рассчитать импульс другого тела после удара.