15. Кинетическая энергия вращающегося тела. Работа при вращательном движении.

Кинетическая энергия вращающейся материальной точки может быть запи­сана во "вращательных" характеристиках следующим образом: Е_{к вр} = m²2 = m²r²2 = J²2; Е_{к вр} = J²2

Полученное выражение является общим для кинетической энергии любого тела во вращательном движении. Работа же (момента силы) во вращательном движении представляет собой величину, равную изменению (приращению) кинетической энергии тела. Покажем, что она определяется скалярным произве­дением векторов момента силы и элементарного углового перемещения: dА_вр = Мd = (dL/dt)d = dL = d(J) = d(J²2) = dЕ_{к вр}

Для конечного углового перемещения  полная работа определится интегралом: А₁₂ = Мd = d(J²2) = J₂²2 - J₁²2 = Е_{к вр}

Если движение тела является сложным, включающим в себя и поступательное, и вращательное движения, полная кинетическая энергия равна сумме кинетических энергий поступательного и вращательного движений:

Е_к = Е_{к пост} + Е_{к вр} = m²2 + J²2 - теорема Кёнига (в теоретической механике): при произвольном движении твердого тела его кинетическая энергия равна сумме кинетической энергии поступательного движения со скоростью _с центра масс и кинетической энергии вращательного движения вокруг мгновенной оси, проходящей через центр масс.

16. Сопоставление характеристик и уравнений для поступательного

и вращательного движений.

При анализе вращательного движения твердого тела целесообразно перейти от линейных характеристик, удобных в описании поступательного движения, к специфическим характеристикам вращательного движения (и взаимодействия). В качестве кинематических характеристик таковыми являются угловые характеристики: путь , скорость  = d/dt и ускорение  = d/dt.

Динамические характеристики также пересматриваются, модифицируются при переходе к изучению вращательного движения. Векторные меры движения и взаимодействия, соответственно импульс Р и сила F заменяются во вращательном движении на момент импульса L и момент силы М, а мера инертности – масса m – на момент инерции J.

17. Гармонический осциллятор. Дифференциальное уравнение соб-

ственных колебаний. Его решение. Амплитуда, фаза, частота собствен-

ных колебаний. Скорость и ускорение.

Гармо­ническими называют колебания, происходящие по закону гармонической фун­кции, т. е. по закону синуса или косинуса. Система, колеблющаяся по гармоническому закону, называется осциллятором, (гармоническим или линейным). Примером осциллятора может служить

груз на пружине при небольших откло­нениях от положения равновесия, то есть в области справедливости закона Гука, где F_упр  х.

Используем силовой подход (второй закон Ньютона) применительно к грузу массой m, движущемуся под действием силы упругости пружины с жесткостью k. Вначале пренебрежём разного рода силами сопротивления, трения. Для простоты рассмотрим колебания груза в горизонтальном направлении, например в трубе без трения: F = mа = mх^; F_упр = - kх; mх^ = - kх;  х^ = - (km)х или х^ + ²х= 0 Полученное уравнение: х" + (km)х = 0, связывающее вторую производную и саму функцию х - смещение груза от положения равновесия, называется дифференциальным уравнением свободных гармонических колебаний (ДУСГК). Такое название объясняется тем, что его решением является гармоническая функция вида:

х = Аcos(t + ) = Asin (t +  + /2), где  = km - циклическая частота свободных гармонических колебаний груза на пружине. Рассмотрим основные характеристики гармонических колебаний. Для кон­кретности будем рассматривать чётную гармоническую функцию – косинус: х = А cos(t + ) = А cos Ф, где:

х - текущее смещение, отклонение груза от положения равновесия

А - амплитуда колебания, представляющая собой максимальное отклонение от положения равновесия

Ф = t +  - полная фаза колебания, представляющая собой аргумент гармонической функции, изме­ряемый в угловой мере (в радианах) и определяющий как бы угловой путь, пройденный колеблющимся телом. Фаза определяет мгновенное положение /сос­тояние/ колеблющейся системы, осциллятора;

 = Ф (при t = 0) - начальная фаза колебания (фаза в начальный момент времени), определяющая начальное положение, состояние осциллятора в момент t = 0;

 = dФ/dt [радс = с^-1] - быстрота изменения полной фазы /состояния/ осциллятора, называемая циклической или угловой частотой.

Гармоническая функция является периодической. За время равное периоду Т совершается один цикл её изменения (одно колебание); соответственно фаза Ф гармони­ческого колебания изменяется на Ф = 2, т. е. Ф = Ф(t + Т) - Ф(t) = 2  (t + Т) +  -  t –  = 2;   = 2Т и Т = 2

Обратная периоду величина  = 1Т [1с = Гц] – называется частотой колебания. Численно она равна числу колебаний, совершающихся за одну секунду. Проекция радиус-вектора равномерно вращающейся точки по окружности радиуса R на любую прямую, проходящую через её центр, например, на горизонтальную ось х, совершает гармоническое колебательное движение: х = Rcos ;  = t + _о; х = Rcos (t + _о). Полная фаза Ф гармонического колебания является аналогом углового пути, а циклическая частота  - угловой скорости ( = R) равномерно вращающейся точки.