2. Кинематика материальной точки. Путь, скорость, ускорение. Тангенциальное, нормальное, полное ускорение.

В механике Ньютона считается, что свободное тело (на которое не дейст­вуют другие тела или действие их взаимно скомпенсировано) сохраняет сос­тояние своего движения, т. е. движется с неизменной скоростью (в частном случае покоится). Наличие же взаимодействия со стороны других тел проявляет себя, как установлено в динамике Галилея - Ньютона, в изменении скорости данного тела. Быстроту ее изменения характеризуют векторной величиной, называемой ускорением а, численно равным производной от мгновенной вектор - скорости  по времени:

а = lim /t при t  0; а = d/dt = ^ [а] = м/с².

Т. к. вектор-скорость  =  обладает как бы двумя степенями свободы - модулем  и направлением (задаваемым вектором ), то и быстрота её изменения - вектор уско­рения а - может быть представлен в виде двух составляющих, называемых тангенциальным (касательным) и нормальным (центростремительным) ускорениями:

а = d/dt = d/dt() = (d/dt) + d/dt = а_ + а_n, где а_ = (d/dt) - тангенциальное ускорение, численно равное быстроте измене­ния модуля скорости и направленное по направлению , то есть по касательной к траектории в сторону перемещения тела при (d/dt)  0 и против  при (d/dt)  0;

а_n = d/dt - нормальное ускорение, характеризующее быстроту изменения направления скорости.

Покажем, что нормальное ускорение направлено по нормали к траектории в сторону её вогнутости и численно равно ²/R, где R - радиус кривизны тра­ектории в соответствующей точке.

Модуль а полного ускорения в соответствии с теоремой Пифагора, равен:

а = а = (а_² + а_n²) = [(d/dt)² + ⁴/R²].

Знание ускорения, с которым движется тело, необходимо для решения ос­новной задачи механики, т. е. для определения скорости и местоположения тела в любой момент времени. Для этого необходимо иметь уравнения, связывающие скорость и ускорение, а также радиус - вектор с ускорением тела.

Кинематические уравнения движения (уравнения для скорости и радиус-вектора).

Для движения точки с постоянным ускорением

а = d/dt = const, ее скорость определится интегрированием соотношения d = аdt:

d = аdt   - _о = аt   = _о + аt

Аналогично, зная скорость  = dr/dt, найдём радиус-вектор r, определяющий местоположение тела. Интегрируя соотношение dr = dt, получим:

dr = dt = (_о + аt)dt  r – r_о = _оt + аt²/2  r = r_о + _оt + аt²/2

Кроме ускорения а, решение основной задачи механики, т. е. определение скорости  и местонахождения r точки, требует знания начального сос­тояния движения точки, т. е. значений скорости _о и положения r_о точки в начальный момент времени t = 0. Задача нахождения ускорения тела решается в следующем за кинематикой разделе механики - динамике.

На практике полученные векторные уравнения для скорости и радиус - век­тора используют обычно в скалярной форме, т. е. в виде проекций на оси координат:х = х_о + _охt + а_хt²/2; у = у_о + _оуt + а_уt²/2; z = z_о + _оzt + а_zt²/2;

В прямолинейном одномерном движении можно записать следующие формулы для скорости и пути:

 = _о + аt и S = _оt + аt²/2, где путь S в однонаправленном движении равен модулю разности координат конечного и начального положений тела.