- •Основные элементарные функции
- •Бесконечно малая величина
- •6) Свойства бесконечно малых
- •Способы определения
- •Свойства
- •Предел функции по Коши
- •Окрестностное определение по Коши
- •Точки разрыва
- •17) Правила дифференцирования
- •Свойства дифференциала аналогичны свойствам производной.
- •Дифференцируемость функций. Непрерывность дифференцируемой функции
- •24,25,26,27) Разложение некоторых элементарных функций по формуле Маклонена
- •30) Достаточные условия существования локальных экстремумов
- •Выпуклость функции и точки перегиба
- •32) Асимптоты графика функции
- •Предел функции, правило Лопиталя.
- •Общая схема исследования функции и построения ее графика
- •Свойства первообразной
- •38) Непосредственное интегрирование
24,25,26,27) Разложение некоторых элементарных функций по формуле Маклонена
, , , ,
Формула Тейлора является эффективным средством для вычисления пределов функций, с которыми часто приходится иметь дело при исследовании функций. Пример 1. Вычислить предел . Решение. Используя разложение функции sin x, имеем
Пример 2. Вычислить предел . Решение. Используя разложения функций, входящих в выражение предела, имеем
Разложить в ряд Маклорена функцию()xfxe- ответ в тетради!
Разложить в ряд Маклорена функцию. ()sinfxx=???
Разложить в ряд Маклорена функцию. ()cosfxx=???
Разложить в ряд Маклорена функцию. ()ln(1)fxx=+???
28) Признак монотонности функции
Промежутки монотонности функции совпадают с промежутками постоянного знака ее производной.
Доказательство. Будем понимать заданную функцию у = f(x) как закон движения материальной точки Р по оси у в зависимости от времени х. Пусть на некотором промежутке функция f возрастает. На языке механики это означает, что материальная точка Р движется по оси у в положительном направлении. Так как знак скорости совпадает с направлением движения, то скорость точки, т. е. производная функции положительна. Обратно: если производная, т. е. скорость точки, положительна, то точка движется по оси у в положительном направлении, следовательно, функция возрастает. Аналогично рассматривается случай убывания функции. Замечание. Если точка движется в одном направлении, то ее скорость сохраняет постоянный знак, однако в отдельные моменты времени точка может остановиться (ее скорость обратится в нуль), а затем продолжать двигаться в том же направлении. Функция, описывающая такое движение точки, будет монотонной. Значит, если f(x) возрастает,то f'(x) > 0. Верно и обратное. Однако если f'(x) обращается в нуль не в отдельных точках, а на целом промежутке, то на этом промежутке функция будет постоянной. Если включить промежутки постоянства функции в промежутки ее монотонности (как иногда говорят, не требовать строгой монотонности функции), то можно коротко результат исследования записать так:
.
29. Необходимое условие существования локального экстремума для функции
Пусть задана функция z =z (x,y), (x,y) D. Точка M0(x0;y0 D - точка локального экстремума.
Если в этой точке существуют z'x и z'y, то
Геометрическое доказательство "очевидно". Если в точке C0 на (рис.1.4) провести касательную плоскость, то она "естественно" пройдет горизонтально, т. е. под углом 0° к оси Ох и к оси Оу.
Тогда в соответствии с геометрическим смыслом частных производных (рис.1.3):
что и требовалось доказать.
Определени
Если в точке M0 выполняются условия (1.41), то она называется стационарной точкой функции z (x,y).
30) Достаточные условия существования локальных экстремумов
Пусть функция непрерывна в и существуют конечные или бесконечные односторонние производные . Тогда при условии
x0 является точкой строгого локального максимума. А если
то x0 является точкой строгого локального минимума.
Заметим, что при этом функция не дифференцируема в точке x0
Пусть функция f непрерывна и дважды дифференцируема в точке x0. Тогда при условии
и
x0 является точкой локального максимума. А если
и то x0 является точкой локального минимума
31)