- •Основные элементарные функции
- •Бесконечно малая величина
- •6) Свойства бесконечно малых
- •Способы определения
- •Свойства
- •Предел функции по Коши
- •Окрестностное определение по Коши
- •Точки разрыва
- •17) Правила дифференцирования
- •Свойства дифференциала аналогичны свойствам производной.
- •Дифференцируемость функций. Непрерывность дифференцируемой функции
- •24,25,26,27) Разложение некоторых элементарных функций по формуле Маклонена
- •30) Достаточные условия существования локальных экстремумов
- •Выпуклость функции и точки перегиба
- •32) Асимптоты графика функции
- •Предел функции, правило Лопиталя.
- •Общая схема исследования функции и построения ее графика
- •Свойства первообразной
- •38) Непосредственное интегрирование
Способы определения
Число e может быть определено несколькими способами.
Через предел:
(второй замечательный предел).
Как сумма ряда:
или .
Как единственное число a, для которого выполняется
Как единственное положительное число a, для которого верно
Свойства
Данное свойство играет важную роль в решении дифференциальных уравнений. Так, например, единственным решением дифференциального уравнения является функция , где c — произвольная константа.
Число e иррационально и даже трансцендентно. Его трансцендентность была доказана только в 1873 году Шарлем Эрмитом. Предполагается, что e — нормальное число, то есть вероятность появления разных цифр в его записи одинакова.
Число e является вычислимым (а значит, и арифметическим) числом.
, см. формула Эйлера, в частности
Ещё одна формула, связывающая числа е и π, т. н. «интеграл Пуассона» или «интеграл Гаусса»
Для любого комплексного числа z верны следующие равенства:
Представление Каталана:
Мера иррациональности (англ.) числа e равна 2 (что есть наименьшее возможное значение для иррациональных чисел).
Второй замечательный предел
Второй замечательный предел имеет вид: или в другой записи В случае второго замечательного предела имеем дело с неопределенностью вида единица в степени бесконечность . Разберем несколько примеров нахождения предела по второму замечательному пределу с подробным оприсанием решения. Пример. Вычислить предел Решение. Подставляем бесконечность: Пришли к неопределенности единица в степени бесконечность. Смотрим в таблицу неопределенностей для определения метода решения и останавливаемся на применении второго замечательного предела. Сделаем замену переменных. Пусть Если , то Исходный предел после замены примет вид: Ответ: Пример. Вычислить предел Решение. Подставляем бесконечность: Пришли к неопределенности единица в степени бесконечность, которая указывает на применение второго замечательного предела. Выделим целую часть в основании показательно степенной функции: Тогда предел запишется в виде: Сделаем замену переменных. Пусть Если , то Исходный предел после замены примет вид: В преобразованиях были использованы свойства степени и свойства пределов. Ответ:
10)
Предел функции по Коши
Значение называется пределом (предельным значением) функции в точке , если для любого наперёд взятого положительного числа ε найдётся отвечающее ему положительное число такое, что для всех аргументов , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство .[1]
Окрестностное определение по Коши
Значение называется пределом (предельным значением) функции в точке , если для любой окрестности точки существует выколотая окрестность точки такая, что образ этой окрестности лежит в . Фундаментальное обоснование данного определения предела можно найти в статье Предел вдоль фильтра.
Геометрическая интерпретация предела функции.
Обратимся к рисунку 1, на котором представлен фрагмент графика функции .
Рис. 1. Секущая AB образует угол β с положительным направлением оси 0x. Касательная к графику функции проведена в точке A.
Угловой коэффициент секущей AB равен средней скорости изменения функции на промежутке [x, x + ∆x]:
|
|
(5) |
|
Предельным положением секущей AB при перемещении точки B к точке A по дуге кривой является касательная к графику в точке A. Поэтому угловой коэффициент касательной равен пределу углового коэффициента секущей при ∆x → 0:
|
|
(6) |
|
Рис. 2. Касательная является предельным положением секущей AB при перемещении точки B к точке A.
Таким образом, производная в точке x равна тангенсу угла, образованного касательной к графику функции в этой точке с положительным направлением оси 0x.
11)
|
Пусть переменная x стремится к a, оставаясь больше a, и при этом . Тогда число A называют правосторонним пределом (или пределом справа) функции и обозначают любым из символических выражений
Понятие левостороннего предела (или предела слева) вводится аналогичным образом. В этом случае при x → a со стороны меньших значений:
Для существования обычного (двустороннего) предела функции в точке a необходимо и достаточно равенство между собой односторонних пределов:
Например, в точке x = 3 односторонние пределы функции
отличаются друг от друга:
Поэтому в рассматриваемой точке предел функции не существует. |
12) Первым замечательным пределом именуют . Известны также и следствия из первого замечательного предела:
Все приведенные выше формулы получаются из основной: . Примечательность последней формулы состоит в том, что вместо х можно подставлять любое выражение, лишь бы это выражение стремилось к нулю. Например, так как при , то . Собственно говоря, на этом и основаны примеры на первый замечательный предел. Суть решения таких заданий проста: формально подогнать условие под вид первого замечательного предела, после чего использовать формулу . Допустим, нужно найти . Простой подстановкой проблему не решить, потому как , т.е. тут мы имеем дело с неопределенностью вида . Если такая неопределенность встречается вкупе с тригонометрическими выражениями, то для стандартных типовых расчетов это почти стопроцентная гарантия первого замечательного предела. Подгоним данную задачу под вид упомянутого предела, учитывая :
Осуществим следующее преобразование: в числителе домножим на 7х и разделим на 7х. этим мы не изменяем значение числителя. Аналогичную операцию проделаем в знаменателе:
Что нам это даст? Так как при имеем , то можно применить первый замечательный предел: . Учитывая это, получим:
Сокращая х и вспомнив, что , получим: . Приведем ещё несколько примеров решения задач на первый замечательный предел:
13) Классификация бесконечно малых функций
Во многих случаях представляет интерес сравнение бесконечно малых между собой по характеру их приближения к нулю. Рассмотрим две бесконечно малые (x) и (x) при xx0 и предположим, что (x) не обращается в ноль в некоторой проколотой окрестности точки x0. Будем сравнивать эти бесконечно малые, изучая поведение их отношения при xx0.
Дадим следующие определения.
Если , то говорят, что (x) и (x) бесконечно малые одного порядка при xx0.
Если , то говорят, что (x) бесконечно малая более высокого порядка по сравнению с (x) при xx0, и пишут , xx0.
Если (x) и k(x) – бесконечно малые одного порядка (k>0), то говорят, что (x) величина k-го порядка относительно бесконечно малой (x) при xx0 и пишут , xx0.
Если , то говорят, что (x) и (x) эквивалентные бесконечно малые при xx0 и пишут , xx0.
Замечание. Та же терминология применяется и при сравнении функций, не являющихся бесконечно малыми при xx0. В этом случае добавляется ещё одно определение.
Если существует число C > 0 такое, что в некоторой проколотой окрестности точки x0 справедливо неравенство , то говорят, что функция (x) ограничена относительно функции (x) при xx0, и пишут , xx0.
Примеры. 1. Привести примеры на каждое из определений.
2. Доказать, что при x0.
3. Вычислить: .
4. Доказать, что при x0.
Логарифм по основанию e (e - трансцендентное число, приближенно равное 2,718281828...) называется натуральным логарифмом. Натуральный логарифм числа x обозначается ln x. Натуральные логарифмы широко используются в математике, физике и инженерных расчетах.
14) Непрерывная функция — функция без «скачков», то есть такая у которой малые изменения аргумента приводят к малым изменениям значения отображения. График непрерывной функции можно начертить «не отрывая карандаш от бумаги».
Непрерывная функция вообще говоря, — синоним понятия непрерывное отображение, тем не менее, чаще всего этот термин используется в более узком смысле — для отображений между числовыми пространствами, например, на вещественной прямой. Эта статья посвящена именно непрерывным функциям, определённым на подмножестве вещественных чисел и принимающих вещественные значения.