Свойства первообразной
Первообразная суммы равна сумме первообразных
Первообразная произведения константы и функции равна произведению константы и первообразной функции
Достаточным условием существования первообразной у заданной на отрезке функции f является непрерывность f на этом отрезке
Необходимыми условиями существования являются принадлежность функции f первому классу Бэра и выполнение для неё свойства Дарбу
У заданной на отрезке функции любые две первообразные отличаются на постоянную.
37) Таблицы интегралов и дифференциалов
38) Непосредственное интегрирование
Вычисление интегралов с помощью непосредственного использования таблицы простейших интегралов и основных свойств неопределенных интегралов называется непосредственным интегрированием.
Примеры;
39)
Иногда удается представить подынтегральное выражение f(x)dx в виде f(u)du, где u - некоторая функция от x, и при этом интеграл ∫f(u)du является табличным. Этот прием называется подведением под знак дифференциала и представляет собой простейший вариант использования формулы замены переменной , выраженной свойством 5 неопределённого интеграла ∫f(x)dx=∫f(x(t))x′(t)dt. Для овладения этим приёмом необходимо устойчивое (доведённое до автоматизма) знание таблиц производных и дифференциалов и умение ими пользоваться в обе стороны, то есть не только уметь вычислять по исходной функции производную и дифференциал, но и по дифференциалу увидеть исходную функцию.
Пусть требуется найти интеграл
(1)
Так как
(2)
где 
-
функция, дифференцируемая на некотором
интервале 
,
то
(3)
где 
.
Если интеграл 
табличный,
то в силу свойства
4 известен
и интеграл 
,
то есть, если, 
,
то 
.
Таким образом, интеграл (1) находим, используя преобразование (2), которое называют подведением функции под знак дифференциала.
Заметим, что внести функцию под знак дифференциала - это означает написать под знаком дифференциала ее первообразную. Например:
В) Пусть требуется найти интеграл
где 
.
Очевидно, что
где ,тогда
где 
.
Далее рассуждаем так же, как в случае преобразования (3.)
(здесь 
).
Таким образом, если
,
то
.
(4)
Преобразование (4) называют подведением линейной функции под знак дифференциала.
40)
Интегрирование функций, содержащих квадратный трехчлен
Рассмотрим
интеграл
,
содержащий квадратный трехчлен в
знаменателе подынтегрального выражения.
Такой интеграл берут также методом
подстановки, предварительно выделив в
знаменателе полный квадрат.
Вычислить
.
Решение.
Преобразуем
,
выделяя
полный квадрат по формуле
.
Тогда получаем :
